This post covers several topics from PHY2707 and PHY2709 of UofT grad course. I will update whenever I need to teach or review the related materials. I also included something I learned as an undergrad but I believe they’re too difficult for undergrads…
Ludwig Boltzmann, who spent much of his life studying Statistical Mechanics, died in 1906, by his own hand. Paul Ehrenfest, carrying on the work, died similarly in 1933. Now it is our turn to study Statistical Mechanics. Perhaps it will be wise to approach the subject cautiously. –in States of Matter, by David. L. Goodstein, 1975, Dover N.Y.
任课老师是好老师，但不妨碍课是门烂课，学了不如不学，不如自学。所以我们接着自学 Griffiths（引用体内为 Griffiths）。 学习时间 大二下 周课时 4 本人成绩 98 课程教材 徐克尊 《近代物理学（第4版）》中科大出版社 2019 个人建议参考教材 无 先修课程 理论力学 量子力学 电动力学 数学物理方法 那时候氢原子电子自旋轨道相互作用，教材上赫然写着轨道角动量和自旋角动量不再分别守恒，而总角动量守恒，轨道角动量和自旋角动量分别绕着总角动量做拉莫尔进动。首先，我根本不知道什么是拉莫尔进动；其次，看着哈密顿的两个角动量点乘，我看不出怎么这俩不守恒，而总角动量又守恒，更别提谁绕着谁做拉莫尔进动了。 不含时微扰理论 设 \(\hat H^0\psi_n^0=E_n^0\)，加上微扰 \(\hat H=\hat H^0+\lambda\hat H'\)，按 \(\lambda\) 的不同阶展开。笔记 如果基态能量非简并， 一阶微扰的能量修正 \(\hat H^0\psi_n^1+\hat H'\psi_n^0=E_n^0\psi_n^1+E_n^1\psi_n^0\)，用 \(\langle\psi_n^0\vert\) 作用一下得 \(E_n^1=\langle\psi_n^0\vert\hat H'\vert\psi_n^0\rangle\)。 … the first-order correction to the energy is the expectation value of the perturbation in the unperturbed state. 经典对应：理论力学里的正则微扰一阶近似的例子里，也有能量修正是非微扰解在一阶微扰下的期望，可见量子和经典有很好的对应。 一阶微扰波函数和二阶微扰能量修正 把 \(\psi_n^1\) 用 \(\psi^0_m\) 为基展开（除去 \(m=n\)），带入得 \(\displaystyle\psi_n^1=\sum_{m\ne n}\frac{\langle\psi_m^0\vert\hat H'\vert\psi_n^0\rangle}{E_n^0-E_m^0}\psi_m^0\) 。 \(\hat H^0\psi_n^2+\hat H'\psi_n^1=E_n^0\psi_n^2+E_n^1\psi_n^1+E_n^2\psi_n^0\)，最后得 \(\displaystyle E_n^2=\sum_{m\ne n}\frac{\vert\langle\psi_m^0\vert \hat H'\vert\psi_n^0\rangle\vert^2}{E_n^0-E_m^0}\)。 如果基态能量简并， \(\psi^0=\alpha\psi_a^0+\beta\psi_b^0\) , \(\langle\psi_a^0\vert\psi_b^0\rangle=0\)，则微扰造成的能级修正将造成能级分裂。 二重简并的一阶微扰的能量修正 设 \(\hat W_{ij}=\langle\psi_i^0\vert\hat H'\vert \psi_j^0\rangle\)，则 \(E_{\pm}^1=\ldots\pm\ldots\) 见 Griffiths Eq.[6.26]。一般也不用算这么麻烦的。显然 \(\psi^0\) 是 \(\hat H\) 的本征函数，线性组合系数是什么？我们需要找到一个与 \(\hat H'\) 对易的算符 \(\hat A\)（对应的物理量守恒），使 \(\psi^0\) 同时是两个算符的本征函数，这时有结论 \(W_{ab}=0\)，这样分裂的两个能级分别是 \(W_{aa}\) 和 \(W_{bb}\)，计算方法和非简并情况一样。这种情况下，\(\hat A'\) 的本征值可以用来标记量子态，这个本征值就被称为好量子数，例如不考虑微扰的氢原子电子波函数中的 \(n,l,m\) 都是好量子数。 多重简并的一阶微扰能量修正 见书上 6.2.2 例子。 氢原子能级的精细结构 能量修正值与能量值的数量级之比是 \(\alpha^2\) 量级（就解释了这玩意为啥叫精细结构常数），看下面结论就明白了。如果是非氢原子，精细结构的能量修正与 \(Z\) 的四次方成正比，所以重元素的相对论效应更明显。 相对论动能修正 在原子中相对论效应通常很小，可以在非相对论的薛定谔方程的基础上，作相对论效应修正而得到精细结构。在相对论力学中，相对论动能为 \(\displaystyle T=\frac{mc^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}-mc^2\)，展开得 \(\displaystyle\frac{p^2}{2m}-\frac{p^4}{8m^3c^2}+\ldots\)。于是微扰哈密顿 \(\displaystyle\hat H_r'=-\frac{\hat p^4}{8m^3c^2}\)…… 微扰是球对称的，则可以用非简并微扰处理（pending！！）最终 \(\displaystyle E_r^1=-\frac{E_n^2}{2mc^2}(\frac{4n}{l+1/2}-3)=E_n\alpha^2\frac{1}{4n^2}(\frac{4n}{l+1/2}-3)\)。 自旋 - 轨道相互作用修正 力学 - 拉莫尔进动里已经导出匀速圆周运动带电粒子的磁矩 \(\displaystyle\vec\mu=\frac{q}{2m}\vec L\)，于是电子的磁矩为 \(\displaystyle\vec\mu_e=-\frac{e}{2m_e}\vec L_e\)。然而这是经典的结论，考虑电子的自旋磁矩 \(\vec S\)，量子电动力学（我不会）给出的结论是 \(\displaystyle\vec\mu_e=-g_s\frac{e}{2m_e}\vec S\)，其中 \(g_s\approx 2\)，也就是 \(\displaystyle\vec\mu_e=-\frac{e}{m_e}\vec S\)。 如果把电子视为静止，原子核围绕其做轨道旋转，根据毕奥 - 萨阀尔定律计算原子核在电子处产生磁场 \(\vec B\)。如果把原子核视为静止，电子围绕其做轨道旋转有轨道角动量 \(\vec L\)。原子核在电子处产生的磁场和电子轨道角动量之间的关系是 \(\displaystyle\vec B=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e}{mc^2r^3}\vec L\)。 电子自旋磁矩放在原子核绕电子轨道旋转形成的磁场里有能量 \(H=-\vec{\mu}·\vec{B}\)。带入上面的结论，转换为原子核静止的实验室坐标系（见 Griffiths 6.3.2，我现在还不会），得自旋 - 轨道相互作用附加能量算符 \(\hat H'_{so}=\xi(r)\hat S\cdot\hat L\)，其中 \(\displaystyle \xi(r)=\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0}\frac{1}{mc^2r^3}\)。 分析这个附加哈密顿，考虑 \([\hat S_i,\hat L_j]=0\)，可以算出 \([\hat H'_{so},\hat L]=i\hbar\xi(r)\hat S\times\hat L\)，\([\hat H'_{so},\hat S]=i\hbar\xi(r)\hat L\times\hat S\)，\([\hat H'_{so},\hat S^2]=0\)，\([\hat H'_{so},\hat L^2]=0\)。可以看出，这个附加能量使自旋和轨道角动量不再分别守恒，但总角动量 \(\vec J=\vec L+\vec S\) 守恒。回忆不显含时间物理量的海森堡方程 \(\displaystyle\frac{d}{dt} \langle Q\rangle=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat Q]\)，不难推出 \(\displaystyle\frac{d}{dt}\vec L=\frac{i}{\hbar}\vec J\times\vec L\), \(\displaystyle\frac{d}{dt}\vec S=\frac{i}{\hbar}\vec J\times\vec S\)。经典图像：\(\vec{L}\) 和 \(\vec{S}\) 以相同的角速度围绕 \(\vec{J}\) 做拉莫尔进动，大小不变，方向改变。\(m_l\) 和 \(m_s\) 就不再是好量子数，描述电子状态的好量子数为 \(n,l,j,m_j\)。\(j=l+s,l-s\)，其中电子自旋量子数 \(s=1/2\)。 再根据 \(J^2=L^2+S^2+2\vec L\cdot\vec S\) 算出 \(\hat H\cdot\hat S\) 的本征值，得 \(\displaystyle E_{fs}^1=E_n\alpha^2\frac{1}{n^2}(\frac{n}{j+1/2}-\frac{3}{4})\)。考虑了自旋 - 轨道耦合后，能级将按照 \(j\) 的不同取值（\(\vec{S}\) 和 \(\vec{L}\) 的平行或反平行取向）而分裂。 塞曼效应 现象：把光源放在磁场中，光源发出的每一条谱线都会分裂成几条偏振的谱线。 磁矩放在磁场里有能量 \(H=-\vec{\mu}·\vec{B}\)。讨论原子磁矩时，由于原子核磁矩比电子磁矩小 2~3 个数量级，所以忽略原子核磁矩。对于外磁场中的单电子，塞曼效应微扰为 \(\displaystyle H_Z'=-(\vec\mu_l+\vec\mu_s)\cdot\vec B_{\text{ext}}=\frac{e}{2m}(\vec L+2\vec S)\cdot\vec B_{\text{ext}}\)。 原子内部磁场造成自旋 - 轨道耦合微扰，外磁场造成塞曼效应微扰，最终效果要看内外磁场的相对大小。内磁场远小于外磁场时，塞曼效应微扰占主导；外磁场远小于内磁场时，自旋 - 轨道耦合微扰占主导；内外磁场可以相比拟时，有点难搞，我不搞。在这里我只提及弱外磁场的情况，因为与电子顺磁共振相关。 弱外磁场塞曼效应 可以首先忽略原子与外磁场的相互作用，在此基础上考虑原子与外磁场的作用。上面已经说过，考虑自旋 - 轨道耦合，好量子数为 \(n,l,j,m_j\)，一阶微扰能量修正为 \(\displaystyle E_Z^1=\langle n l j m_j\vert\hat H_Z'\vert nljm_j\rangle=\frac{e}{2m}\vec B_{\text{ext}}\cdot\langle\vec L+2\vec S\rangle\)。前面已经说过，\(\vec J\), \(\vec S\) 都绕着 \(\vec J\) 进动，一顿操作猛如虎，参见 Griffiths 6.4.1，得 \(\langle\vec L+2\vec S\rangle=g_J\langle\vec J\rangle\)，其中 \(\displaystyle g_J=1+\frac{j(j+1)-l(l+1)+3/4}{2j(j+1)}\) 为朗德因子。于是 \(E_Z^1=\mu_Bg_JB_{\text{ext}}m_j\)，其中 \(\displaystyle\mu_B=\frac{e\hbar}{2m}\) 是玻尔磁子（轨道磁矩的最小单元）。 弱磁场下这种能级分裂在普通光学波段上太小。将总磁矩分解为平行于 \(J\) 的分量和垂直于 \(J\) 的分量。可以证明垂直分量的平均值为 \(0\)，平行分量（也称有效磁矩）是守恒量。有效磁矩在外磁场有取向势，按照 \(m_j\) 的取值分裂。能级间隔为 \(ΔE=g_jμ_BB\)。在垂直于外磁场的方向上加频率满足频率为上述 \(ΔE/h\) 时，相邻能级之间会有很大的概率发生跃迁，电磁波于磁能级间隔对应的固有频率发生共振而被强烈地吸收，就是磁共振现象。前提是原子的磁矩不是 \(0\)，这种固体样品中磁矩不为零的原子会顺着外磁场排列…(参见《电磁学 - 磁介质》)，这种磁共振又叫电子顺磁共振。 氢原子能级的超精细结构 略。 变分原理 原理：\(E_g\le\langle\psi\vert\hat H\vert\psi\rangle=\langle\hat H\rangle\)。应用：化学中寻找复杂分子的基态能量，反正不知道波函数具体是啥，用一堆可调参数瞎写波函数疯狂算能量，算出来最小的那个能量一般很接近分子的基态能量。 氦原子基态能量 实验值为 \(E_g=-78.975eV\)，哈密顿 \(\hat H\psi_0=(8E_1+V_{ee})\psi_0\)。 若直接忽略两电子之间的库伦势 \(v_{ee}\)，波函数为 \(\displaystyle\psi_{0}(\vec r_1,\vec r_2)=\psi_{100}({\vec r_1})\psi_{100}({\vec r_2})=\frac{8}{\pi a^3}e^{-2(r_1+r_2)/a}\)，能量为基态氢原子能量的 \(8\) 倍（玻尔公式中），即 \(109eV\)。这个能量比实验值低，因为哈密顿不对。 不忽略库伦势，但带入波函数为氢原子基态波函数的乘积，一顿操作猛如虎，得到基态能量约 \(-75eV\)。这个能量比实验值略高，但很接近了。这里波函数是错的，但八九不离十，而哈密顿是对的。 考虑两电子相互作用对波函数的影响，对每个电子来说原子核电荷被另一个电子部分屏蔽为 \(Z<2\)，再带着参数 \(Z\) 将解出的假基态能量对 \(Z\) 求的极小值，得到基态能量约 \(-77.5eV\)，比之前的解还接近实验值。 WKB 近似 The WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin) method is a technique for obtaining approximate solutions to the time-independent Schrödinger equation in one dimension (the same basic idea can be applied to many other differenctial equations, and to the radical part of the Schrödinger equation in three dimensions). It is particularly useful in calculating bound-state energies and tunneling rates through pentential barriers. 在量子力学中已经讨论过方势下波函数的解。现在假设 \(V(x)\) 不是常数，但相对于 \(1/k\) 或 \(1/\kappa\) 变化缓慢。 \(E>V\) 薛定谔方程写作 \(\displaystyle\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=-\frac{p^2}{\hbar^2}\psi\), where \(p(x)=\sqrt{2m[E-V(x)]}\) is real. 设 \(\psi(x)=A(x)e^{i\phi(x)}\)。近似：\(A''/A\ll(\phi')^2 \text{ and }p^2/\hbar^2\) 一顿操作猛如虎，\(\displaystyle\psi(x)\approx\frac{C}{\sqrt{p(x)}}e^{\pm\frac{i}{\hbar}\int p(x)dx}\)。 隧穿 考虑方势垒散射态，一顿操作猛如虎，得隧穿率 \(T\approx e^{-2\gamma}\) 其中 \(\displaystyle\gamma=\frac{1}{\hbar}\int_0^a\vert p(x)\vert dx\)。 \(\alpha\) 衰变源的寿命 放射性衰变的种类 \(α\) 衰变：原子核吐一个 \(α\) 粒子（氦核） \(β\) 衰变：核里面质子/中子的转换过程中，可能涉及电子等粒子的释放（14N 的衰变就是一种β衰变，衰变为 14C，14C 测年法的原理……） \(γ\) 跃迁：原子核经历 \(α\) 衰变或 \(β\) 衰变以后往往处于激发态，原子核从激发态到较低能态或基态的退激发跃迁…… \(\alpha\) 衰变模型：喷出的 \(\alpha\) 粒子具有一个正能量，离核近的时候有吸引负势，出了这个范围被带正电的母核库伦排斥，有衰减的正排斥势。见 Griffiths Figure 8.5，中间形成非方势垒，可以算 \(\alpha\) 粒子逃出去的概率。结论：\(\displaystyle\gamma=K_1\frac{Z}{\sqrt{E}}-K_2\sqrt{Zr_1}\)，母核寿命 \(\displaystyle\tau=\frac{2r_1}{v}e^{2\gamma}\)，对于不同母核，指数项为主要特征，近似有 \(\log\tau\propto1/\sqrt{E}\)。 The Connection Formulas \(E>V\) or \(E<V\) 的 WKB 近似在 \(E\to V\) 时 \(p(x)\) 发散。那怎么办？见 Griffiths 8.3。贝塞尔函数、Airy’s function。 含时微扰理论 之前说过，以上都是定态薛定谔方程。现在我们研究跃迁过程。如果哈密顿中的含时部分远小于定态部分，含时部分可以看做一个微扰。笔记 二能级系统 设系统在非微扰下有两个本征态，分别为 \(\hat H_0\psi_a=E_a\psi_a\), \(\hat H_0\psi_b=E_b\psi_b\)，其中 \(E_b> E_a\)。考虑微扰，波函数仍以本征态为基展开，\(\Psi(t)=c_a(t)\psi_ae^{-iE_at/\hbar}+c_b(t)\psi_be^{-iE_bt/\hbar}\)。系统随时间的演化就是考察 \(c_a(t)\), \(c_b(t)\)。 设 \(\hat H=\hat H_0+\hat H'(t)\)。带入薛定谔方程 \(\hat H\Psi=i\hbar\Psi\)。设 \(H_{ij}'=\langle\psi_i\vert\hat H'\vert\psi_j\rangle\)，一般来说矩阵对角元都是零，即 \(H_{ii}'=\langle\psi_i\vert\hat H'\vert\psi_i\rangle=0\)，因为我们考虑微扰使系统在两个能级之间跃迁，而不改变本征态对应的本征能量。一顿操作猛如虎，得方程组 \[\begin{cases} \displaystyle\dot c_a=-\frac{i}{\hbar}H_{ab}'e^{-i\omega_0t}c_b \\ \displaystyle\dot c_b=-\frac{i}{\hbar}H_{ba}'e^{i\omega_0t}c_a. \end{cases}\] 其中 \(\omega_0=(E_b-E_a)/\hbar\)。 一阶含时微扰理论 设 \(c_a(0)=1\), \(c_b(0)=0\)，带入微分方程组一次，得 \[\begin{cases} \displaystyle c_a^{(1)}(t)=1 \\ \displaystyle c_b^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar}\int_0^tH_{ba}'(t')e^{i\omega_0t'}dt'. \end{cases}\] 多能级推广 如果系统初态在 \(\psi_N\)， \[c_N(t)\approx1-\frac{i}{\hbar}\int_0^tH'_{NN}(t')dt'\\ c_m(t)\approx\frac{i}{\hbar}\int_0^tH'_{mN}(t')e^{i(E_m-E_n)t'/\hbar}dt'\] 正弦微扰 若 \(\hat H'(\vec r,t)=V(\vec r)\cos(\omega t)\)，\(V_{ij}=\langle\psi_i\vert V\vert\psi_j\rangle\)。在 \(\omega\approx\omega_0\) 下近似，一顿操作猛如虎，得 \(\displaystyle P_{a\to b}(t)=\vert c_b(t)\vert^2\approx\frac{\vert V_{ba}\vert^2}{\hbar}\frac{\sin^2[(\omega_0-\omega) t/2]}{(\omega_0-\omega)^2}\)。 原子与电磁波相互作用 原子与电场相互作用。设原子尺度远小于电磁波尺度。设电磁波为单色偏振波，则可以视为原子泡在 \(\vec E=E_0\cos(\omega t)\vec e_k\)。则 \(\hat H'_{ba}=-\mathscr{P}E_0\cos(\omega t)\)，其中 \(\mathscr{P}=q\langle\psi_b\vert z\vert\psi_a\rangle\)，使我们想起来经典电磁学里的电偶极矩 \(q\vec r\)。泡在这样的电场里，就是把上面正弦微扰情况里的 \(V_{ba}\) 换成 \(-\mathscr PE_0\)。 如果原子本来在低能态，吸收能量 \(E_b-E_a=\hbar\omega_0\) 跃迁到高能态，可算出 \(\displaystyle P_{a\to b}(t)\approx(\frac{\vert \mathscr P\vert E_0} {\hbar})^2\frac{\sin^2[(\omega_0-\omega) t/2]}{(\omega_0-\omega)^2}\)。 如果原子本来在高能态，吸收能量 \(E_b-E_a=\hbar\omega_0\) 跃迁到低能态，可算出 \(\displaystyle P_{b\to a}(t)\approx(\frac{\vert \mathscr P\vert E_0} {\hbar})^2\frac{\sin^2[(\omega_0-\omega) t/2]}{(\omega_0-\omega)^2}\)。同时释放两个光子，这就是激光的原理。 laser: light amplification by stimulated emission of radiation. 自发辐射 略。 氢原子跃迁的选择定则 辐射率的计算归结于计算 \(\langle\psi_i\vert\hat{\vec r}\vert\psi_j\rangle\)。详见笔记，得到跃迁要满足选择定则：\(Δl=±1\), \(Δm=0,±1\)。 浸渐近似 前面一部分含时微扰考虑系统在两个不同状态间跃迁，不同量子态的本征值不变，那个矩阵对角元都为零。现在研究在外界变化比系统内部变化慢很多的情况下，本征态变化的情况，用 adiabatic approximation。在这里，我们不需要哈密顿的含时部分很小，只需要它很慢。在分子物理学中，从假设原子核静止开始分析电子波函数的近似方法是 Born-Oppenheimer approximation。 浸渐理论 …if the particle was initially in the nth eigenstate of \(\hat H^i\), it will be carried (under the Schrödinger equation) into the nth eigenstate of \(\hat H^f\)… 证明过程略。先假设系统收到又小又慢的微扰 \(\hat H'=Vf(t)\)，因为小，可以用一阶微扰理论。结合一阶含时和不含时微扰理论，如果系统初态为 \(\Psi(0)=\psi_n^i\)，则系统末态量子态变化 \(\psi_n\to\psi_m,m\neq n\) 的概率为 \(\displaystyle\langle\psi(T)\vert\psi_m^f\rangle =[\frac{iAV_{nn}V_{nm}}{\hbar(E_m-E_n)}+\) \(\sum_{n\neq k\neq m}\) \(\frac{V_V_{kn}}{(E_n-E_k)(E_m-E_n)}\) \(]e^{iE_nT/\hbar}\)，是一个二阶小量。现在假设扰动是又慢又大的，则可以切成很多又慢又小的微扰，而量子态转换的概率是二阶小量，会随着切割份数无穷而趋于零。（经典对应）与经典力学中哈内角相对应的量子力学概念是贝瑞相和阿哈罗诺夫 - 玻姆效应，之后没用过，本科也没学，我就先不写。test 散射 前面贝瑞相我应该不写了，但这部分我之后会回来写。但现在不写。等我写完这部分就1.0了。
I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.–Richard Feynman
分析力学给出了力学系统在完全一般性的广义坐标下具有不变性是的动力学方程组，并突出了能量函数的意义。分析力学甚至概括了比牛顿力学广泛得多的系统，例如在电气系统、控制系统中的应用就是一个明显的例子。分析力学的数学形式有着极好的性质，它不仅提供了解决天体力学及一系列动力学问题的较佳途径，同时给量子力学的发展提供了启示，最适宜于成为引向现代物理的跳板。其最小作用量原理提供了建立相对论量子力学最简练而富有概括性的出发点。——梁昆淼
La gloris di colui che tutto move per l’universo penetra, e risplende in una parte più e meno altrove. – Paradiso: Canto I, Dante Alighieri 课程名称 光学 学习时间 大二上 周课时 3 本人成绩 90 课程教材 高文绮 但绝版了 个人建议参考教材 Optics by E. Hecht 先修课程 微积分 电磁学 数学物理方法 电动力学 光是电磁波 发光的分类：热辐射（热运动引起）、光发射（外部激励引起）。 人类感知可见光的颜色的差别来自不同频率的光具有能量上的差异（对人眼视觉细胞的刺激不同）。 光在介质中的速度 \(v=\sqrt{\epsilon_0\mu_0\epsilon_r\mu_r}\)，光在介质中的折射率 \(\displaystyle n=\frac{c}{v}=\sqrt{\epsilon_r\mu_r}\)。光学材料通常是非铁磁质，在光频段 \(\mu_r=1\)。光进入不同介质，波长改变，频率不变，联想力学里的受迫振动。 光波是矢量横波。偏振：横波的振动矢量在垂直于波传播方向的平面内呈现不对称性取向的状态和现象。 波动方程 平面波 波前：相位相等的面。 平面波作为波动方程一种很特殊的解的良好品质之一是可以实现传播过程中波形不变，等相面就是相互平行的平面往前匀速跑。由解析几何，与 \(\vec k\) 垂直的向量 \(\vec r\) 所在平面满足 \(\vec k\cdot\vec r=\text{const}=a\)，描述了平面波的一个波前。 我们可以用简谐振动激发这种波，得到简谐平面波，三维空间描述：\(\psi(p,t)=A\cos(\vec k\cdot\vec r-\omega t+\varphi_0)\)，因为懒，省去时间因子 \(-i\omega t\)，复振幅描述为 \(\tilde\psi(p)=A\exp[i(\vec k\cdot\vec r+\varphi_0)]\)。矢量 \(\vec k\) 满足 \(k=\displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}\)，称作波矢量。homogeneous 的简谐平面波满足 \(A\) 处处相等。波前的奔跑速度是相速度。 光强 \(\displaystyle I=\langle\vec S\rangle=\frac{1}{2}c\epsilon_0nE_0^2\propto nE_0^2\)（绝缘介质中时谐平面波能流密度）。近似平面波（激光束、透镜或反射镜…）和球面波远场区域满足电场和磁场垂直；考虑时谐波。理想的单色光源：激光、同步辐射。电磁场有动量，对应微观上光子也有动量，量子化后为 \(p=h/\lambda\)，应用：光镊。记 \(\tilde E(P)=E_0\exp[i(\vec k\cdot\vec r+\varphi_0)]\)，相对光强 \(I=\tilde E(P)\cdot\tilde E^*(P)\)。 球面波 正如数学物理方法中的球坐标下波动方程的解，其中球对称球面波满足 \(R_0(r)=D/r\)，\(\Theta(\theta)\) 满足 0 阶勒让德函数 \(P_0(\cos\theta)=1\)，\(\Phi(\varphi)=1\)，于是球面波复振幅 \(\displaystyle\tilde\psi(p)=\frac{a}{r}\exp[\pm i(kr)]\)（其中设 \(\varphi_0=0\)，+ 为发散波，- 为会聚波），等相面与等幅面重合。 from Hecht Figure 2.29 远场傍轴看，疑似平面波。 考虑的范围在球面波传播轴附近（傍轴），条件： \(z^2\gg x^2+y^2\)。振幅 \(\displaystyle\frac{a}{r}\approx\frac{a}{z}\)，相位对 \(r\) 展开 \(\displaystyle kr=k(z+\frac{x^2+y^2}{2z}-\frac{(x^2+y^2)^2}{8z^3}+\ldots)\approx k(z+\frac{x^2+y^2}{2z})\)，于是 \(\displaystyle\tilde\psi(x,y)=\frac{a}{z}\exp[\pm ik(z+\frac{x^2+y^2}{2z})]\)。 进一步，场点离远点够远，以至于考虑范围内变一变位置，相位几乎没变。条件：\(\displaystyle k\frac{x^2+y^2}{2z}\ll\pi\) 也就是 \(\displaystyle\frac{x^2+y^2}{\lambda}\ll z\)，于是 \(\displaystyle\tilde\psi(x,y)=\frac{a}{z}\exp[\pm ikz]\)，为平面波。 几何光学 适用条件：在光的传播途中，障碍物（狭缝、小孔、透镜、棱镜等）的几何尺寸必须远大于光波波长，衍射效应不明显。 光的独立传播定律（几何光学特有）：来自不同方向的光线在空间相遇后，各自保持自己的传播方向继续传播，无叠加原理。 常识：海市蜃楼：上热下冷 - 上现蜃景；上冷下热 - 下现蜃景。 费马原理 光沿光程为极值（极大、极小或常量）的路径传播。\(\displaystyle\delta\int_A^Bndl=0\) -> 光的直线传播定律、反射定律、折射定律（菲涅尔公式）。 成像 同心光束：相交于一点或它们的延长线交于一点的光线。发散、会聚、平行。 理想光学系统：入射的同心光束经过光学系统后出射光束仍为同心光束。入射同心光束的交点称为物点 \(P\)；出射心光束的交点称为像点 \(P'\)。实际中只有平面反射镜是理想光学系统，其他光学系统接近理想光学系统。 费马定理 -> 理想光学系统物像之间等光程。 傍轴条件球面折射 可以证明如果非傍轴，不能理想成像；傍轴用到近似 \(\sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta\)，可理想成像。 符号规则：规定光线的传播方向为自左到右。长度量由指定的原点量起，其方向与光的传播方向一致为正，反之为负；高度量以垂直光轴向上为正，向下为负；角度量以锐角衡量，由主光轴 / 法线顺时针转到光线为正，逆时针转成者为负。 from 于老师 几何光学 81 关系式为 \(\displaystyle\frac{n'}{p'}-\frac{n}{p}=\frac{n'-n}{r}\)。其中 \(\displaystyle\Phi=\frac{n'-n}{r}\) 为光焦度，表征折射球面的聚光本领，单位为屈光度 \(1D=1m^{-1}\)。物方焦距 \(\displaystyle f=-\frac{n}{n'-n}r=-\frac{n}{\Phi}\)，像方焦距 \(\displaystyle f'=\frac{n'}{n'-n}r=\frac{n'}{\Phi}\)。例：平面折射 \(r=\infty\)，光焦度 \(\Phi=0\)，只有在傍轴条件下才能理想成像。 傍轴条件球面反射 看成是从折射率 \(n\) 到 \(-n\) 的特殊折射，\(\displaystyle\frac{1}{p'}+\frac{1}{p}=\frac{2}{r}\)。 透镜 顶点：主光轴和球面的交点。薄透镜的两个球面的顶点可近似认为是重合在一起，成为薄透镜的光心。 两个球面逐次成像，\(\displaystyle\frac{n'}{p'}-\frac{n}{p}=\frac{n_0-n}{r_1}+\frac{n'-n_0}{r_2}\)。光焦度 \(\displaystyle\Phi=\frac{n_0-n}{r_1}+\frac{n'-n_0}{r_2}=\Phi_1+\Phi_2\)。 近视眼镜是发散透镜，\(\Phi<0\)。 from 于老师 几何光学 107 光的偏振 自然光：非偏振光，不同偏振方向相位无关，不能合成。 椭圆偏振光：两个频率相同、振动方向互相垂直的简谐波的叠加。设沿 \(z\) 轴传播，考虑在 \(z=0\) 处的振动， \[\begin{cases} E_x=A_x\cos(\omega t+\varphi_x) \\ E_y=A_y\cos(\omega t+\varphi_y) \end{cases}\] 光矢量末端运动轨迹方程为 \(\displaystyle\frac{E_x^2}{A_x^2}+\frac{E_y^2}{A_y^2}-2\frac{E_xE_y}{A_xA_y}\cos\delta=\sin^2\delta\)，其中 \(\delta=\varphi_y-\varphi_x\)。 线偏振光（平面偏振光）：\(\delta=m\pi\), \(\vert E_yA_x\vert=\vert A_yE_x\vert\)。 圆偏振光：\(\delta=(2m+1)\pi/2\), \(A_x=A_y\)。光波的光矢量大小恒定，方向以 \(\omega\) 匀速旋转。左旋：\(\delta=\pi/2\)；右旋：\(\delta=-\pi/2\)。 菲涅尔公式 接电动力学。在光学波段，材料一般 \(\mu_1=\mu_2=\mu_0\)，此时折射定律叫菲涅尔公式。 \(\text{s 偏振}: \begin{cases} \displaystyle \frac{E_{0\perp}'}{E_{0\perp}}=\frac{\sin(\theta''-\theta)}{\sin(\theta''+\theta)}\\ \displaystyle \frac{E_{0\perp}''}{E_{0\perp}}=\frac{2\cos\theta\sin\theta''}{\sin(\theta''+\theta)}\\ \end{cases} \\ \text{p 偏振}: \begin{cases} \displaystyle \frac{E_{0\parallel}'}{E_{0\parallel}}=\frac{\tan(\theta-\theta'')}{\tan(\theta+\theta'')}\\ \displaystyle \frac{E_{0\parallel}''}{E_{0\parallel}}=\frac{2\cos\theta\sin\theta''}{\sin(\theta''+\sin\theta)\cos(\theta-\theta'')}\\ \end{cases}\) 令人惊讶的是，当 \(\theta+\theta''=90°\) 的时候，p 偏振的反射波电场强度解为 0，消失。这个 \(\theta\) 就是布儒斯特角。 设介质1 (\(n_0\)) -> 2 (\(n\)) 的反射比为 \(r\)，透射比为 \(t\)，介质 2 -> 1 的反射比为 \(r'\)，透射比为 \(t'\)，得到 \(\displaystyle r=\frac{n_0-n}{n_0+n}\), \(\displaystyle t=\frac{2n}{n_0+n}\)… 以及斯托克斯公式 \(r=-r'\), \(r^2+tt'=1\)。 在高中时，我们说光又光密介质（如玻璃）入射到光疏介质（如空气），当入射角大于临界角时，折射波消失，发生全反射。应用：光纤。 但是，虽然折射波没了几何意义，我们这里仍然在复数域考虑入射角大于临界角时的 \(\sin\theta''>1\) 的解 -> 折射波为沿 \(x\) 方向传播、振幅沿 \(z\) 轴衰减的时谐波，沿分界面存在平均能流密度分量，沿面法线方向的平均能流密度为零。 入射光是圆偏振光，反射光和折射光一般是圆偏振光；入射光是线偏振光，反射光和折射光一般是线偏振光，但光矢量相对于入射面的方位要改变；全反射时，线偏振光入射，反射光一般是椭圆偏振光。 晶体光学与双折射 在各向异性介质中，光的传播规律及相关性质与光的振动方向（偏振态）和传播方向有关。 \(\begin{bmatrix} D_1 \\ D_2 \\ D_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \epsilon_{11} & \epsilon_{12} & \epsilon_{13} \\ \epsilon_{21} & \epsilon_{22} & \epsilon_{23} \\ \epsilon_{31} & \epsilon_{32} & \epsilon_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \\ E_3 \end{bmatrix}\) 双折射：一束自然光经过各向异性晶体折射时产生两束振动方向不同的线偏振光。一束遵循折射定律，称为寻常光（o 光），一束不遵从折射定律，折射光线一般不在入射面内，称为非常光（e 光）。o 光和 e 光只有在双折射晶体内才有意义。 晶体的光轴：当光在晶体中沿这个方向传播时 o 光和 e 光的传播速度相同，不发生双折射。 主截面：在晶体中，对于所选定的晶面（晶体天然形成的解理面），其法线和任一光轴所决定的平面称。 主平面：晶体中某条光线与晶体光轴构成的平面。o 光光矢量的振动方向综合自己的主平面垂直，e 光光矢量的振动方向则在自己的主平面内。若光线的入射面与主截面重合，o 光和 e 光的主平面都与入射面重合，两光的振动方向互相垂直。 o 光和 e 光的相对光强：马吕斯定律。e 光子波的波面（称为 e 波面）为旋转椭球面。正晶体 \(v_o>v_e\)，负晶体 \(v_o<v_e\)。 二向色性：某些晶体内 o 光与 e 光的吸收程度有很大的不同。应用：偏振片，如偏振太阳镜。 光的偏振态转换：波片、补偿器。 一些产生方式：应力双折射、电光效应。 旋光现象：线偏振光在某些物质中传播时，其振动面发生旋转的现象。互为镜像的分子能使线偏振光的振动面沿不同方向旋转，同种晶体存在左旋和右旋两种旋光异构体。旋光色散：同一旋光物质，对不同波长的光振动面所旋转的角度不同。一些产生方式：法拉第磁致旋光效应。菲涅尔简单唯象解释了旋光现象。 光的干涉 \(\tilde E_1=A_1e^{i\theta_1}\), \(\tilde E_2=A_2e^{i\theta_2}\), \(\tilde E=\tilde E_1+\tilde E_2\), \(I=\tilde E\cdot\tilde E^*=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\theta_2-\theta_1)=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos(\delta)\)。对特定场点，相干光满足 \(\delta\) 为定值，可由对分相干光源发出的光分光得到。当 \(\delta=2m\pi\) 时为干涉极大，当 \(\delta=(2m+1)\pi\) 时为干涉极小。 分波前法 杨氏双缝实验 \(\displaystyle\delta=\frac{2\pi}{\lambda}(d_2-d_1)\), \(\displaystyle I=4I_1\cos^2(\frac{\pi d}{\lambda D}x)\)，应用：全息术； 分振幅法 薄膜干涉：等倾干涉、等厚干涉（楔形薄膜、牛顿环）； 例：多重透射光叠加后的合成振幅 \(\displaystyle\tilde E_T=\frac{tt'}{1-r'^2e^{i\delta}}A=\frac{1-r^2}{1-r^2e^{i\delta}}A\)。 from 于老师 光的干涉 154 应用：增透膜和增反膜（空气 \(n_0\)、介质 \(n\)、基底 \(n_g\)） 单层增反膜： \(n>n_g\), \(nh=(2m+1)\lambda/4\)（单向镜面反光镜）；单层增透膜： \(n<n_g\), \(nh=(2m+1)\lambda/4\)。 分振动面法 偏振光的干涉：将一束线偏振光分解为两束光。 偏振片 I：将自然光变成线偏振光。晶片 C：分振动面，产生固定相位差。偏振片 II：使参与干涉的两个光矢量振动方向相同。当晶片厚度不均匀时产生等厚干涉条纹。 应用：显色偏振。 光的衍射 光波在传播过程中遇到障碍物时波前的复振幅分布发生了改变。 惠更斯 - 菲涅尔原理：在光源发出的波前 \(\Sigma\) 上，每个面元 \(d\sigma\) 都可以看成是新的振动中心，它们发出球面子波，空间某点 \(P(r)\) 的光振动是所有这些子波在该点的振动的相干叠加。 from 于老师 光的衍射 27 \(\displaystyle\tilde E(P)=C\iint_\Sigma\tilde E(Q)\frac{e^{ikr}}{r}F(\theta)d\sigma\) 无穷多振幅为无穷小，相邻两束光波的相位差亦为无穷小的连续分布的相干光波的叠加。 屏函数 衍射屏上建立平面直角坐标系 \((x_0,y_0)\)，把紧贴其前的入射场 \(\tilde E_i(x_0,y_0)\) 转化成紧贴其后的衍射场 \(\tilde E(x_0,y_0)\)， \(\displaystyle\tilde t(x_0,y_0)=\frac{\tilde E(x_0,y_0)}{\tilde E_i(x_0,y_0)}\)。 例：薄透镜傍轴条件理想成像 \(\tilde E_i(x,y)=A\), \(\tilde E(x,y)=Ae^{-ik(x^2+y^2)/2f'}\)，于是 \(\tilde t(x,y)=e^{-ik(x^2+y^2)/2f'}\)。 例：正弦光栅 \(t(x_0)=t_0+t_1\cos(2\pi fx_0)\)，通过将两束相干平行光的干涉条纹记录于底片获得。 菲涅尔 - 基尔霍夫积分公式 \(\displaystyle\tilde E(x,y)=\frac{1}{i\lambda}\iint_\Sigma\tilde E(x_0,y_0)\frac{e^{ikr}}{r}\frac{1}{2}(1+\cos(\theta))dx_0dy_0\) 标量波理论。pending 我也不知道具体咋写的 傍轴近似，分母中的振幅 \(r\approx z\)，相位中的 \(kr\) 按 \(z\) 小量展开，\(\displaystyle r\approx z[1+\frac{(x-x_0^2)+(y-y_0)^2}{2z}-\frac{[(x-x_0^2)+(y-y_0)^2]^2}{8z^4}+\ldots]\)倾斜因子 \(\cos(\theta)\approx 1\)。 菲涅尔衍射 当光源和接收屏（或二者之一）距离衍射屏为有限远，取 \(\displaystyle r\approx z[1+\frac{(x-x_0^2)+(y-y_0)^2}{2z}]\)，得到 \(\displaystyle\tilde E(x,y)=\frac{e^{ikz}}{i\lambda z}\iint_\Sigma\tilde E(x_0,y_0)e^{ik[(x-x_0)^2+(y-y_0^2)]/2z}dx_0dy_0\)。 夫琅和费衍射 平面波衍射，即光源和接收屏距离衍射屏均为无限远，\(\displaystyle r\approx z[1+\frac{(x-x_0^2)+(y-y_0)^2}{2z}]=z+\frac{x^2+y^2}{2z}-\frac{xx_0+yy_0}{z}+\frac{x_0^2+y_0^2}{2z}\)。如果满足 \(\displaystyle\frac{k(x_0^2+y_0^2)_\text{max}}{2}\ll z\)，则取 \(\displaystyle r\approx z+\frac{x^2+y^2}{2z}-\frac{xx_0+yy_0}{z}\)，于是 \(\displaystyle\tilde E(x,y)=\frac{e^{ikz}}{i\lambda z}e^{ik(x^2+y^2)/2z}\iint_\Sigma\tilde E(x_0,y_0)e^{ik(xx_0+yy_0)/z}dx_0dy_0\)。 带入积分公式，夫琅和费衍射能实现屏函数的傅立叶变换：\(\displaystyle\tilde E(f_x,f_y)=Ce^{ik(x^2+y^2)/2z}\iint_{-\infty}^{+\infty}\tilde t(x_0,y_0)e^{-i2\pi(f_xx_0+f_yy_0)}dx_0dy_0\)，其中\(\displaystyle f_x=\frac{x}{z\lambda}\), \(\displaystyle f_y=\frac{y}{z\lambda}\)，即 \(\tilde E(f_x,f_y)=\mathscr F\{\tilde t(x_0,y_0\}\)。应用：X 射线衍射发现准晶和 DNA 的双螺旋结构。 例：平面波入射 -> 正弦光栅 -> 三列叠加的平面波透射。当光栅的周期和照明光波的波长可比较时，须用严格矢量理论求解，得到隐失波。 例：平面波入射 -> 单缝 -> 高中学的衍射图样，其实就是屏函数——矩形函数 sinc 的傅立叶变换。\(\displaystyle I=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2\)，其中 \(\alpha=\pi a\sin\theta/\lambda\)。 例：平面波入射 -> 圆孔（半径为 \(R\)） -> 艾里斑。极坐标下求解，得到 \(\displaystyle I=I_0[\frac{2J_1(\varphi)}{\varphi}]^2\)，其中 \(\displaystyle\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}R\sin\theta\)，\(\theta\) 是衍射角，\(J_1\) 是贝塞尔函数。第一极小的衍射角为 \(\sin\theta=0.61\lambda/R\)。成像仪器的每个物点的像实际上都是一个夫琅禾费衍射图样。如果两个非相干的物点很接近，衍射图样重叠，光强非相干直接相加。瑞利判据：当一个衍射图样的中央极大正好与另一个衍射图样的第一极小重合，就认为这两个物点刚好能被分辨，即 \(\theta_0=0.61\lambda/R\)。 例：夫琅和费多缝衍射，有 \(N\) 条缝，缝宽为 \(a\)，缝间距为 \(b\)。\(\displaystyle I=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2[\frac{\sin(N\beta)}{\sin\beta}]^2\)，其中 \(\alpha=\pi a\sin\theta/\lambda\), \(\beta=\pi b\sin\theta/\lambda\)。 光的吸收、散射 光的吸收 朗伯定律：\(I=I_0e^{-\alpha(\lambda)L}\)，其中 \(\displaystyle\alpha(\lambda)=-\frac{dI}{I}\frac{1}{dx}\) 为吸收系数。 如果吸收系数不仅与波长有关，还与光强有关，则为非线性吸收。应用：变色镜片的光致变色（如卤化银）、摩擦透明的可擦笔。 比尔定律：光通过透明溶液时溶液的吸收系数与溶液的质量分数成正比。 光的散射 光波在透明介质中传播时，部分光波偏离原来的传播方向向四面八方传播的现象。 散射光的波长不发生变化 瑞利散射：瑞利散射定律：散射光强与 \(\lambda^4\) 成反比。 \(\displaystyle a<0.3\frac{\lambda}{2\pi}\) 小颗粒散射，如空气中的尘埃、烟雾、小水滴，如一缕青烟； 分子散射（介质的某种性质出现涨落），如蔚蓝的天空、红橙色的日出和日落。 米氏散射 \(a\approx\lambda\) 大颗粒，丁达尔效应，e.g., 晨雾中的耶稣光、航空器的尾迹云、北京雾霾； 散射光的波长发生变化 拉曼散射、布里渊散射、康普顿散射。
现在可以研究传播着的电磁波了。
The author wrote an physics article that pointed out a mathematical flaw of “Answers to 1000 Electromagnetic Problems (电磁学千题解) 2.1.45”, the most authorized problem set on electromagnetism in China. The article won the first prize (~7%) of the 24th Basic Subject Forum (第24届基础学科论坛) on Sept 3, 2021. Here is the link of the announcement. This is such a accomplishment that I have to pin it in English on my website!
物理楼前的春景
热学有宏观描述方法（热力学方法）与微观描述方法（统计物理学方法）之分。这一篇首先将热力学，是关于热现象的宏观理论，把物质当作连续介质，以三条基本定律作为基础作演绎推论。
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