数学物理方程主要是指物理学的一个分支——数学物理所涉及的偏微分方程，有时也包括相关的积分方程、微分积分方程。

更新记录 2022.03.28 Ver0.0, 2023.01.08 Ver0.1, 2023.11.15 Ver1.0

注意：本课程教授一些特殊偏微分方程的严格求解方法，当然，不是所有偏微分方程都能严格求解，数值解法详见计算物理以后会有链接hhh。

个人建议教材有待补充。本文按照梁老师的教材思路走。

数学物理定解问题

如果想要读更通俗(?)一些的数理方程，推荐阅读顾樵老师的《数学物理方程》，似乎文字更加容易阅读一些？忘了自己学过的数理方程是什么的可以先看看这篇数学物理方程怎么那么难？ - 金白石的回答 - 知乎。配图简直笑死我。

数学物理方程通常是通过对所研究问题的一个小局部（数学上采用泰勒展开忽略高阶小项）应用物理规律方程导出的，作为物理现象的共性，也叫泛定方程。本篇研究 3 类偏微分数理方程。求泛定方程的定解问题，可能需要考虑初始条件和边界条件。

数学物理方程的导出

是否可以这样直观地总结一下，波动方程对时间二阶偏微分时间项是振荡的，输运方程对时间一阶偏微分时间项是衰减的，描述稳定场问题的拉普拉斯方程并没有对时间的偏微分因此并没有时间项。

波动方程

【GRAD-UPDATE】以前觉得知道数学物理方程是由物理规律推导出来的这个事实（并不知道具体怎么导出的），然后按照各种边界条件套就行。后来读了 Hecht 光学教材里面对低年级学生对波动的讲解，先是假定一个以一定速度传播、波形不变的一维波，导出一维波动方程。然后直接把一维情况推广到三维，引入拉普拉斯算子 \(\Delta\) 写出波动方程 \(u_{tt}-a^2\Delta_3u=0\)（方程符号形式采用梁昆淼老师 9.1 节最后大表），然后又用这个波动方程解了球面波的波函数。我就有点不服，球面波不满足传播过程中波形不变（半径增加振幅衰减），为什么我们可以直接用波形不变的一维情况直接推广到三维呢？波动方程来自物理规律，有没有更一般的导出文本呢？

当然，电磁学中的麦克斯韦方程组的推导就是一个在空间上很 general 的例子。在 Mathematical Tripos: Part II Waves 这份讲义中，就从物理规律介绍了一些关于连续弹性介质中的波动规律。总的来说，我们可以列出普遍物理规律（e.g., 能量守恒、动量守恒……），再结合具体介质响应的力学规律，导出波动方程。我们研究的形式简单对称的波动方程，通常来自一些较为特殊的限制。例如讲义中 Eq.(1.11) 就是结合理想气体状态方程导出的声波波动方程，Eq.(3.20) 就是结合弹性固体应力规律解出的线性弹性波动方程。

定解条件

初始条件（给出整个系统的初始状态）、边界条件（常见的三类线性边界条件，非线性的就算了）、衔接条件（泛定方程在衔接点没意义，将对象分成不同部分考虑）。

数学物理方程的分类

抱歉暂时没觉得这节有什么用。值得注意的是上面讨论的都是实方程，对于量子力学的薛定谔方程，由于有虚数存在，虽是抛物型，却是波动方程。

达朗贝尔公式 定解问题

求解常微分方程的方法是先求出通解再带入初始条件。一维波动方程可以仿照求解常微分方程的方法，

\((\frac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2})u=0\) -> \((\frac{\partial}{\partial t}+a\frac{\partial}{\partial x})(\frac{\partial}{\partial t}-a\frac{\partial}{\partial x})u=0\)

求出通解：沿着正负方向行波之和（光学中已经解释过，\(f_1(x-at)\) 沿负方向，\(f_2(x+at)\) 沿正方向），

然后再带入初始条件 \(u\vert_{t=0}=\varphi(x), u_t\vert_{t=0}=\psi(x). (-\infty<x<\infty)\)

得到 \(u(x,t)=\frac{1}{2}[\varphi(x+at)+\varphi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi\)

这就是达朗贝尔公式。但这只是个特例。

无限长和半无限长弦振动的行波求解。还讲了半无限长弦振动问题中反射波是否有半波损失的问题。端点固定，奇函数，有半波损失；端点自由，偶函数，无半波损失。

从数学的角度来说，不可能先求偏微分方程的通解然后再考虑定解条件，必须同时考虑偏微分方程和定解条件以进行求解。

分离变数法

用达朗贝尔公式求解具有很多局限性，更普遍的解法是将偏微分方程分解为几个常微分方程求解，也就是分离变数法。用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数，但在具体问题中级数里常常只有前若干项较为重要，后面的项迅速减小，从而可以一概略去。

齐次方程的分离变数法

齐次方程就是把微分项放到等号左边，等号右边等于 0。相当于方程描述的区域绳子上没有 driven force /热传导介质里没有热源/电磁场区域没有电荷……

此章研究有边界条件的问题，以下以两端有限长度的绳子为例（空间上是一维的，极端平庸~）。

被启发用“驻波”（一般有分离变数的形式）解决问题，各点振动并不依次滞后，按同一方式随时间 \(t\) 振动，振幅是坐标的函数，则解分解为坐标的振幅与随 \(t\) 振动两项的乘积，带入泛定方程、边界条件和初始条件求解。

本节似乎研究的都是第一类和第二类齐次边界条件（如果边界条件非齐次，这里研究可以处理成具有一个方向上有其次边界条件可以构成本征解的特殊情况）。将分离变量的试探解带入泛定方程，有关坐标的放在等式一边，有关时间的放在等式另一边。两边必须为常数才能相等（这个常数就是后面说的本征值）。首先，齐次边界条件给出坐标部分解的本征值和本征函数，也就是不同波长的驻波。然后，再将坐标的本征值带入时间分离出的方程中。坐标的解是三角函数，而时间解的部分代入已经求得的本征值也是三角函数（因数理方程类型（波动、输运、稳定场）而异）。对应本征值的时间空间函数相乘，得到绳子的本征振动方程，由于方程和边界条件都是齐次的，定解就是这些本征振动的线性叠加。时间部分的积分常数，由初始条件得出（\(t=0\) 带入原式，以及带入导数式）。Highlight: 边界条件给出坐标部分的本征值和本征函数。

例题给出实例：1.高压电容器突起处电场强度大容易击穿，要尽量平整。2.长度为四分之一波长的传输线接在交流电源上，另一端开路，从交流电源一方看过来，这段传输线相当于一个短路元件。

【总结】：对于波动和输运问题，分离变数法可以总结为把所求的解展开为傅里叶级数：\(u(x,t)=\Sigma_nT_n(t)X_n(x)\)。齐次边界条件给出本征值 \(n\) 和 \(X_n(x)\) 的形式，代入泛定方程给出 \(T_n(t)\) 的形式，初始条件给出这些本征振动项的系数。

非齐次振动方程和输运方程

还是处理齐次边界条件。

傅里叶级数法

和齐次情况相似，把所求的解展开为傅里叶级数：\(u(x,t)=\Sigma_nT_n(t)X_n(x)\)。本征值的本征振动方程是齐次情况中 \(T_n(x)\) 的形式比较简单，但对应本征振动方程是非齐次情况可能使部分 \(T_n(x)\) 的形式变得复杂，有时需要使用拉普拉斯变换求解。例：复变函数-拉普拉斯变换及其应用。

冲量定理法

首先，冲量定理法只能求解初始条件均取零值得问题。所以一般将初始条件不为 0 的一个齐次方程流放出去（便可以用齐次方程的分离变数法求解），而满足初始条件取零值的部分用冲量定理法求解。物理思想：把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力，把持续作用引起的振动看成所有“瞬时”力引起的振动的叠加。

利用上述物理思想把定解问题转化为齐次的，初始条件非零的数理方程，便可以采用齐次方程分离变数法，然后再转化为原来问题的解。详见冲量定理法。摆个结果：

转化为

两者关系为 \(u(x,t)=\int_0^tv(x,t;\tau)d\tau\).

P.S. 冲量定理法的数学验证中涉及到了 fancy 的牛顿-莱布尼兹公式，详见微积分-一元函数微分学。

私以为，在梁老师讲述冲量定理法时，一个非常关键的点在于记 \(u^{(\tau)}(x,t)=v(x,t;\tau)d\tau\)，也就是没有忘记 \(v\) 中有参数 \(t\)。参照转化后的“瞬时条件”为 \(u^{(\tau)}\vert_{t=\tau+d\tau}=0\), \(u_t^{(\tau)}\vert_{t=\tau+d\tau}=f(x,\tau)d\tau\)，也必然如此。这很关键，在数学验证过程中，如果没有意识到 \(v\) 中有参数 \(t\)，就会在应用牛顿-莱布尼兹公式时产生问题！

不适用于与时间无关的问题，比如泊松方程。

非齐次边界条件的处理

懒得写。要么是转化为齐次边界条件，要么是特殊情况可以抖机灵。目前还没遇到过。

泊松方程

有源的稳定场。无源的稳定场就是拉普拉斯方程。也是懒得写。拆解成一个特解和一个拉普拉斯方程即可。拉普拉斯方程的求解参见齐次方程的分离变数法。

二阶常微分方程级数解法 本征值问题

特殊函数常微分方程

在球坐标系和柱坐标系下，三种方程：波动方程、输运方程、拉普拉斯方程（都是齐次）。由于波动方程和输运方程有对时间的偏微分，把时间项分离出来（波动方程分离出平动和波动的时间项，输运方程分离出衰减的时间项）。两者分离出的空间部分都是亥姆霍兹方程（波动方程）。本节重点讨论的便是亥姆霍兹方程和拉普拉斯方程继续分离变数的结果。

对于不同形状的边界条件，用不同的坐标系，最常见的是球坐标系和柱坐标系。以及，对于诸如“球坐标系拉普拉斯算符的表达式可在微积分学教科书中找到”，不会真有同学不会求吧（比如我本人）？指路：拉普拉斯算符就是先求梯度再求散度，球坐标、柱坐标相关运算见我的B站代表作高等数学_场论初步_柱坐标、球坐标下梯度、散度、旋度。

级数解法 - 施图姆-刘维尔本征值问题

问题：我们得到了一些难以处理的线性二阶常微分方程 \(\frac{d^2w}{dz^2}+p(z)\frac{dw}{dz}+q(z)w=0\)，如连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等，如何求解？i.e. \(l\) 阶勒让德方程里的 \(l\) 怎么来的？怎么解释要取整数？

级数解法：在某个任选点 \(z_0\) 的邻域上，把待求的解表为系数待定的级数，代入方程逐个确定系数。试着求解一些例子，级数解的系数一般是一个递推关系，级数解有无穷多项。但是，为满足解有意义，级数解需要满足一些条件，对方程里的参数取值就有了要求。i.e. 为使 \(l\) 阶勒让德方程在 \(x=±1\) 也收敛（构成勒让德方程的自然边界条件），需要无穷级数退化为多项式，如果 \(l\) 取整数，则可以退化成多项式。

如果 \(p(z)\) 和 \(q(z)\) 在 \(z_0\) 的邻域中是解析的：常点邻域上的级数解法举例：求解勒让德方程。

如果 \(z_0\) 是 \(p(z)\) 和 \(q(z)\) 的奇点：正则奇点邻域上的级数解法举例：求解贝塞尔方程。早在复变函数-洛朗级数展开的例子中，梁老师就展示了在 \(z_0=0\) 的邻域上将 \(e^{\frac{1}{2}x(z-\frac{1}{z})}\) 展开，结果得到 \(e^{\frac{1}{2}x(z-\frac{1}{z})}=\displaystyle\sum_{m=-\infty}^{\infty}J_m(x)z^m\)，其中 \(J_m(x)\) 是 \(m\) 阶贝塞尔函数。抱歉，我现在能联系到的就是这玩意是在奇点邻域上展开的，所以用洛朗级数展开。至于为啥能展成贝塞尔函数，还没想明白。

满足边界条件（不论是强行提出的，还是自然边界条件）的非零解往往不存在，除非方程的参数取某些特定值，这些特定值叫做本征值，相应的非零解叫做本征函数，求本征值和本征函数的问题叫做本征值问题。常见的本征值问题都归结为施图姆-刘维尔本征值问题。

【UPDATE】看到此处，我感到十分蒙蔽。我知道这些方程都是线性二阶常微分方程，但是这个形式的施图姆-刘维尔问题有什么优良品德？为什么有？我们可以看看这篇，引入了自伴算符的概念。[顾樵 数学物理方法] Chap.9 施图姆-刘维尔理论；若干特殊方程的导出；二阶ODE级数解法基础。

希尔伯特空间

本征函数可以作为线性空间里的“基矢”一样，把函数展开为本征函数的线性组合。如果任意函数都能成功展出来，那说明这些本征函数是全乎的，也就是“基底矢量”的个数等于空间维数，希尔伯特空间是完备的。

球函数

好，接下来就让我们求解又长又臭的球函数和柱函数的定解问题。把费解的多项式代入边界条件暴力求展开系数之前（为啥能展开？请见下文正交关系与模），我们首先要参考对称性和舍弃发散项，简化我们考虑的多项式族。

球坐标系中分离出与 \(z\) 轴夹角 \(\theta\) 满足的方程，为连带勒让德方程 \((1-x^2)\frac{d^2\Theta}{dx^2}-2x\frac{d\Theta}{dx}+[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}]\Theta=0\)，其中 \(x=cos\theta\).

轴对称球函数 - 勒让德函数

本征值：$l(l+1)$，本征函数：勒让德函数。

这是最对称最简单的情况。如果边界条件是轴对称的，也就是与坐标投影在 \(xOy\) 平面上与 \(x\) 正半轴的夹角 \(\varphi\) 无关，则上图中本征值 \(m=0\)，\(\Phi(\varphi)=const\)，此时连带勒让德方程退化成勒让德方程。轴对称球函数简化为 \(Y(\theta,\varphi)=P_l(x)\)，系数是约定俗成的，具体是啥书上都能查到，不如扔个图看看它们在图上长啥样。

勒让德多项式的微分和积分表示如果遇到我再写

例：均匀介质球。重要结论：介质球内部的极化场是均匀的。这里，定解问题的泛定方程和边界条件由电磁学相关知识给出，但是当时还没学数学物理方法这个又难又强的数学工具，故只能用长篇逻辑论证（应该在千题解里有，等我找到更新），现在就可以安心求解了。

例：在点电荷的电场中放置接地导体球，就导体球外的静电场而论，好像不存在导体球，而存在一个特定位置特定电量的点电荷。这就是电像法。详见梁老师 10.1 (七) 母函数 例6。有了勒让德方程，我们就不需要像大二电磁学那样整一堆逻辑论述了，暴力设坐标系暴力算就行。等写到电磁学，我就链接过来，哈哈。

勒让德多项式的递推公式如果遇到我再写 这玩意有点像把勒让德多项式当成分布函数用 generating functions 计算一阶矩

连带勒让德函数

不那么轴对称咋办？好办，我不小心看出点东西。

本征值：$l(l+1)$，本征函数：连带勒让德函数。其中 \(m=0,1,2,...,l\).

观察连带勒让德方程，不小心发现通过数学变换，可以和勒让德方程逐项求导 \(m\) 的结果联系。\(P_l^m(x)=(1-x^2)P_l^{[m]}(x)\)。啊，真够不小心的。

勒让德多项式的微分（罗德里格斯公式）和积分表示（施列夫利积分）如果遇到我再写（我本科对这玩意的名字一点印象都没有，当然现在也没有）

一般的球函数

实数形式：\(Y_l^m(\theta,\varphi)=P_l^m(cos\theta)\begin{Bmatrix}sin(m\varphi)\\cos(m\varphi)\end{Bmatrix}\), \(\begin{pmatrix}m=0,1,2,...,l\\l=0,1,2,3,...\end{pmatrix}\).

复数形式：\(Y_l^m(\theta,\varphi)=P_l^{\vert m\vert}e^{im\varphi}\), \(\begin{pmatrix}m=-l,-l+1,...,0,1,...,l\\l=0,1,2,3,...\end{pmatrix}\).

线性独立的 \(l\) 阶球函数共有 \(2l+1\) 个。

应用：偶极子、四极子、多极子电场中的电势。其中偶极子问题涉及的数学很初等，在电磁学已经是常规知识点，四极子、多极子则在电动力学（Sorry 我没写）涉及。重要推论：在区域 \(T\) 中分布着电荷，对区域外远处的电场来说，区域 \(T\) 里的电荷可以用一系列的多极子代替。

加法公式：根本没用过，intuition 是“在坐标系旋转时，球函数方程不变”。

柱函数

柱坐标系中拉普拉斯方程分离出与极轴距离 \(\rho\) 满足的方程 \(\frac{d^2R}{d\rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{dR}{d\rho}+(\mu-\frac{m^2}{\rho^2})R=0\)，按照

• \(\rho=0\)：退化为欧拉方程；
• \(\rho>0\)：做代换 \(x=\sqrt{\mu}\rho\) 得到 \(m\) 阶贝塞尔方程 \(x^2\frac{d^2R}{dx^2}+x\frac{dR}{dx}+(x^2-m^2)R=0\)（此时 \(Z(z)\) 解单调，\(R(\rho)\) 解振荡）；
• \(\rho<0\)：记 \(\nu^2=-\mu\)，做代换 \(x=\nu\rho\) 得到 \(m\) 阶虚宗量贝塞尔方程 \(x^2\frac{d^2R}{dx^2}+x\frac{dR}{dx}-(x^2+m^2)R=0\)（此时 \(Z(z)\) 解振荡，\(R(\rho)\) 解单调）。

球坐标系中亥姆霍兹方程分离出与远点距离 \(r\) 满足的方程 \(r^2\frac{d^2R}{dr^2}+2r\frac{dR}{dr}+[k^2r^2-l(l+1)]R=0\)，可以化为 \(x\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+[x^2-(l+\frac{1}{2})^2]y=0\)。

贝塞尔函数

拉普拉斯方程柱侧有齐次边界条件问题（实心：贝塞尔函数、空心：加上诺伊曼函数）、波发射问题（汉克尔函数）。

方程能解出来一些多项式，例如 \(\nu\) 阶贝塞尔函数 \(J_\nu(x)\) （第一类柱函数，形式看前面例题懒得打，驻波），\(\nu\) 阶诺伊曼函数 \(N_\nu(x)=\frac{J_\nu(x)cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{sin(\nu\pi)}\)（第二类柱函数，驻波），第一种和第二种汉克尔函数 \(H_\nu^{(1,2)}(x)=J_\nu(x)±iN_\nu(x)\)（第三类柱函数，\(H_\nu^{(1)}\) 是发散波，\(H_\nu^{(2)}\) 是汇聚波）。

递推公式没印象

虚宗量贝塞尔函数

虚总量贝塞尔函数 \(I_\nu(x)\)、虚宗量汉克尔函数 \(K_\nu(x)\)。

球贝塞尔函数

球贝塞尔函数 \(j_l(x)=\displaystyle\sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{l+1/2}(x)\), \(j_{-l}(x)\)、球诺伊曼函数 \(n_l(x)\)、球汉克尔函数 \(h_l^{(1,2)}(x)\)

研究波（声波、电磁波、量子力学的波函数）的散射问题，常常需要把平面波展开为球面波的叠加，公式查书。

正交关系与模

为啥我们能把任意无限函数展成傅里叶级数？因为不同的傅里叶展开基是互相正交的。球函数和柱函数的展开基也是正交的。

勒让德多项式 \(\displaystyle\int_{-1}^1P_k(x)P_l(x)dx=\begin{cases}0&(k\neq l);\\\frac{2}{2l+1}&(k=l).\end{cases}\)

连带勒让德多项式 \(\displaystyle\int_{-1}^1P_k^m(x)P_l^m(x)dx=\begin{cases}0&(k\neq l);\\\frac{(l+m)!2}{(l-m)!(2l+1)}&(k=l).\end{cases}\)

球函数（\(\displaystyle\int_S\displaystyle\int\) 指在球面 \(S\) 上积分）

• 实数形式：\(\displaystyle\int_S\displaystyle\int Y_k^n(\theta,\varphi)Y_l^m(\theta,\varphi)=\begin{cases}0&(m\neq n \text{ or } l\neq k); \\ \frac{2\pi\delta_m}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}&(m= n \text{ and } l= k).\end{cases}\), where \(\delta_m=\begin{cases}2&(m=0);\\1&(m=1,2,3,...).\end{cases}\).

• 复数形式：\(\displaystyle\int_S\displaystyle\int Y_k^n(\theta,\varphi)Y_l^m(\theta,\varphi)=\begin{cases}0&(m\neq n \text{ or } l\neq k); \\ \frac{4\pi}{2l+1}\frac{(l+\vert m\vert)!}{(l-\vert m\vert)!}&(m= n \text{ and } l= k).\end{cases}\)

贝塞尔函数：懒得写，信我，反正是广义傅里叶级数的基。

格林函数

又称点源影响函数，代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。

Linear Response

求解一般线性一阶 ODEs 的线性响应问题，需要应用拉普拉斯变换求解。

例：参见 Linear Response - (En) Biophysics。

泊松方程

实质：通过格林定理，把边值问题转化为求相应的另一个看似简单的边值问题的求解——格林函数。

求解

在场论中，常常需要区分场点 \(\vec x\) 和源点 \(\vec x'\) 。定义算符对场点微分 \(\nabla=\vec e_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\)，对源点微分 \(\nabla'=\vec e_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i'}\)，具体关于相对位矢 \(\vec r=\vec x-\vec x'\) 的运算律见电动力学课件。

考虑电源产生的场。由微积分 - 矢量分析结论，\(\nabla^2v(\vec x,\vec x_0)=\delta(\vec x-\vec x_0)\)。矢量分析一顿操作猛如虎，\(u(\vec x_0)=\displaystyle\int_Tv(\vec x,\vec x_0)f(\vec x)dV-\displaystyle\int_{\Sigma}[v(\vec x,\vec x_0)\displaystyle\frac{\partial u(\vec x)}{\partial n}-u(\vec x)\displaystyle\frac{\partial v(\vec x,\vec x_0)}{\partial n}]dS\)，接下来，就可以按不同边界条件转化为对格林函数 \(G(\vec x,\vec x_0)\) 的求解。

例：第一类边值条件 \(u=\varphi(M)\) 的求解。

• 记满足 \(v\vert_\Sigma=0\) 的 \(v\) 为 \(G(\vec x,\vec x_0)\)，根据边界条件化简 \(u(\vec x_0)\)，再根据调和函数性质得到格林函数对称性（证明在教材上），\(G(\vec x_1.\vec x_2)=G(\vec x_2.\vec x_1)\)，则 \(u(\vec x)=\displaystyle\int_TG(\vec x,\vec x_0)f(\vec x_0)dV_0-\displaystyle\int_{\Sigma}\varphi(\vec x_0)\displaystyle\frac{\partial G(\vec x,\vec x_0)}{\partial n_0}dS_0\).

  例：电磁学中含有导体空间的静电场求解。\(G\) 由特定边界条件确定。

波动和输运方程

与上面类似，处理受迫振动或有源输运的含时 PDE。需要注意格林函数的对称性变为 \(G(\vec x,t;\vec x_0,t_0)=G(\vec x_0,-t_0;\vec r,-t)\)。输运问题可以用冲量定理法求解格林函数。

积分变换法

怎么求解微分方程？这种哲学我们在线性代数中遇到过：如果在一个坐标下求解变换可能很 cumbersome，但是我们很可能可以变换到另一个坐标，相似对角化原来的线性变换关系，让求解变换很 elegant。求解微分方程也一样，求解原来的微分方程可能很难，或许可以用积分变换法使求解变得简单，然后再变回去就可以。

傅里叶变换法

用分离变数法求解有界空间的定解问题时，所得到的本征值是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和得到傅里叶级数。对于无界空间，用分离变数法求解定解问题时，所得到的本征谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分。因此，对于无界空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法。

例：点源扩散问题，参见 Diffusion Equation - (En) Biophysics。参见教材 13.1 例 3。

拉普拉斯变换法

拉普拉斯变换法方法适用于求解初值问题，不管方程及边界条件是否为齐次的。

我想举的俩例子不知道和上面这句话有没有关系。

例：Linear impulse function，参见 (En) fan2023effect。

例：谢晓亮老师的 burst size & distribution 那篇文章 这个还没写，等我写好，谢谢。