数学物理方法课程主要分为两部分，前半学期是复变函数，后半学期是数学物理方程。两个都不太好搞，毕竟是万恶的数学。

版本 2022.03.28 Ver0.0, 2022.12.30 Ver0.1 (更新傅里叶变换和拉普拉斯变换), 2023.07.26 Ver1.0, 2023.10.30 Ver1.1 (真.拉普拉斯变换) 2023.12.05 Ver1.2 perfect reconstruction

个人建议教材有待补充。 本文按照梁老师的教材思路走。

一些八卦：这一篇我们又来到了万恶的数学，我本人对于数学高度符号化的、严格的证明一窍不通，因此越来越怀疑自己是否有能力学习物理。于是在知乎上看到一个很好的问题：想问下学物理的大佬们，平时都能把书中的方程和推导烂熟于胸吗，学到什么程度才算真正掌握了这些知识？这些回答值得看一看。

复变函数

详见复变函数-引言。

复数与复数的运算

没啥好说的，谁不会算呢？任何从事涉及复数应用的领域的人（例如我），都不应该对复数的应用感到不安。在课程以外，我强烈建议完整阅读科朗的《数学是什么》第二章——《数学中的数系》。（如果觉得第一章补充部分的数论比较晦涩可以不看，但第二章是精彩的、引人入胜的。）这本书是 NJU 悦读经典的书籍之一，也是极精彩的著作。

复变函数

\(z=x+iy, f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)

导数

此处有个比较重要的考点，是柯西-黎曼方程（条件\ C-R 条件）\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\)。复变函数可导要求沿复数平面上任一曲线逼近 0 的结果相同。如果考虑沿实轴和虚轴两种方式逼近的结果相同，则为 C-R 条件，即复变函数可导的必要条件。

复变函数可导的充分必要条件：函数的4个偏导数存在且连续，并且满足 C-R 条件（函数的实部和虚部通过 C-R 条件联系）。

解析函数、调和函数

在某点及其邻域上可导的函数 \(f(z)\) 在该点解析，处处解析的函数是解析函数。解析函数是物理学家喜欢的好函数。

若函数 \(f(z)=u+iv\) 在区域上解析，则 \(u\) 和 \(v\) 是两组正交曲线族，且均为区域上的调和函数（满足拉普拉斯方程 \(\nabla^2u=0,\nabla^2v=0\)，由 C-R 条件再求导得到）、虚实可互求。

• 补充：数学上可以证明，如果调和函数在区域内不恒为常数，则函数在区域内没有极值。例：如果试探电荷放入纯净电力电场，则不可能力学平衡，否则将违背高斯定律。
• 调和函数举例：电势。 复变函数-平面标量场。电场线与等势线可互求。

多值函数

既不好玩也没用（至少目前，博士阶段用到的话我就是屑）。

复变函数的积分

柯西定理

解析函数。对于单连通区域，对环路积分的实部和虚部分别使用格林公式，将 C-R 条件分别带入，得到柯西定理：环路积分为零。\(\oint f(z)dz=\oint udx-vdy+i\oint vdx+udy \\ =-\iint(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y})dxdy+i\iint(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y})dxdy=0\)

对于复连通区域，抠掉奇点，割成单连通区域，带孔区域积分为零。于是沿内外边界线逆时针方向（denote as “ac”）积分相等 \(\displaystyle\oint_{l,ac}f(z)dz=\displaystyle\sum_{i=1}^n\oint_{l_i,ac}f(z)dz\)。

柯西公式

通过不定积分结论：\(\frac{1}{2\pi i}\oint_l\frac{dz}{z-\alpha}=0\) （\(l\) 不包围 \(\alpha\)）；\(\frac{1}{2\pi i}\oint_l\frac{dz}{z-\alpha}=1\) （\(l\) 包围 \(\alpha\)）；\(\frac{1}{2\pi i}\oint_l(z-\alpha)^ndz=0\) （\(n\neq-1\)）.

导出柯西公式：\(f(\alpha)=\frac{1}{2\pi i}\oint_l\frac{f(z)}{z-\alpha}dz\).

柯西公式将解析函数在任何一内点的值用沿边界线的回路积分表示了出来。这是因为解析函数在各点的值通过 C-R 条件相互联系着。从物理上说，解析函数紧密联系于平面标量场，而平面场的边界条件决定着区域内部的场。也可以推广到 \(l\) 的外部包含无限远点的区域。

柯西公式的三个推论“解析函数可求导任意多次（下一章：幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意多次）。模数定理。刘维尔定理。

幂级数展开

收敛圆与收敛半径

感觉和微积分里数项级数一样吧。

幂级数在收敛圆内绝对收敛、一致收敛，在圆外发散。幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数，在收敛圆内不可能出现奇点。幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意多次。逐项积分或逐项求导不改变收敛半径。

泰勒级数展开

既然解析函数的任意阶导数都存在，自然可以期望把解析函数展为复变项的泰勒级数。对于无数学思维的人，与微积分无异。

解析延拓

跳过，好像没啥用吧。无非用在之后“应用留数定理计算实变函数定积分”。实变函数原来定义在实数域，但是在复平面上画个圈圈，复数域的圈圈上的弧满足积分值为零的话就可以算了。

洛朗级数展开

当所研究的区域上存在函数的奇点时，就需要考虑在去除奇点的环域上的展开。求洛朗展开系数有个公式，但一般不用那个公式，而是通过拆拆凑凑的方法。请注意在哪个环域上展开！

例题也放复变函数-平面标量场里了。得到数学物理方程-m 阶贝塞尔函数的洛朗展开（数学物理方程）。

概念：可去奇点、极点和本性奇点。

留数定理

留数定理

如果被积复变函数在回路所围闭区域上是解析的，则回路积分等于零。如果回路包围奇点，在鼓励几点附近展为洛朗级数，-1 次幂的系数叫做留数。设复变函数在回路多为区域上除了有限个孤立奇点外解析，在闭区域上除孤立奇点外连续，则\(\oint_lf(z)dz=2\pi i\displaystyle \sum_{j=1}^n Resf(b_j)\). 求留数时，展成洛朗级数得到 -1 次幂项，或者善用洛必达法则。

应用留数定理计算实变函数定积分

有用，在 (En)Advanced Statistical Mechanics 就用了。一般来说就是把实变函数延拓成一个单位圆（三角函数有理式，积分上下限0到\(2\pi\)，欧拉公式换元），或者一个无限大的半圆加上实轴上的横线。适用条件是可以证明解析延拓的复数圆弧积分为 0，也就把实变函数定积分归结为区域内留数问题。详见复变函数-应用留数定理计算实变函数定积分。

关于傅里叶变换和拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用，参见积分变换法 - 数学物理方程。

傅里叶变换

【GRAD-UPDATE】返朴转载的这篇讲得不错，数学物理人看来有点偏工程，比较强调“时域”和“频域”，第四节那里很不错。为什么要进行傅里叶变换？Bill’s Blog

本科阶段写的：傅里叶变换是函数从时域向频域的变换。一个时域上的函数，可以写作不同频率的正弦、余弦波线性叠加而成。波在介质中传播过程中，频率对其传播性质有重要的影响，因此在频域上研究函数是重要的。总而言之，在科研应用中，还没有遇到过利用数学素养求解傅里叶变换问题，而是利用快速傅里叶变换(FFT)对采集到的数据转换到频域，比如分析神经电生理数据，一般来说还挺无脑的hhh。

研究生阶段幡然悔悟：傅里叶变换是从函数随着自变量变化的频率角度对函数的重新描述。这个自变量不必是时间，例如，求解从点源的自由扩散微分方程就是变换浓度作为空域函数。傅里叶变换是深刻的、重要的，不是无脑的。

本科阶段的习题大多为实数形式的傅里叶变换，目的在于折磨学生。但研究生以后，笔者发现文献中，尤其是理论生物物理方向的文献中，大部分使用复数形式的傅里叶变换。

为什么要进行傅里叶变换？我们都有很直观的印象：发出一个元音，做频谱图，可以通过频谱特征分辨是哪个元音（语音识别的原理之一）。不仅如此，在本科阶段，量子力学中的坐标表象和动量表象，固体物理中的倒格矢都是傅里叶变换；在研究生阶段，详见下文。

傅里叶级数

微积分里学过，习题又长又臭。实数形式的傅里叶变换习题一般都是对奇函数或者偶函数操作，根据奇偶性选择正弦展开还是余弦展开。

将周期函数展开为傅里叶级数。周期函数要满足迪里希利条件：(1) 处处连续，或在每个周期中只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期中只有有限个极值点。则傅里叶级数收敛，为…

周期函数 \(f(x+2l)=f(x)\)，展开为 \(f(x)=a_0+\Sigma_{k=1}^\infty(a_kcos\frac{k\pi x}{l}+b_ksin\frac{k\pi x}{l})\)，其中 \(a_k=\frac{1}{\delta_kl}\int_{-l}^lf(\xi)cos\frac{k\pi\xi}{l}d\xi\)，\(b_k=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(\xi)sin\frac{k\pi\xi}{l}d\xi\)。其中\(\delta_k=2(k=0) or 1(l\neq0)\)。

傅里叶积分

对于非周期且满足迪里希利条件的函数\(f(x)\)，可以将其视作周期为无穷大的周期函数，且在 \(-\infty<x<\infty\) 绝对可积，傅里叶级数也就转化成为傅里叶积分（如果不能满足，请见拉普拉斯变换）。

\(f(x)=\int_0^\infty A(\omega)cos\omega xd\omega+B(\omega)sin\omega xd\omega\) -> \(A(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)cos\omega \xi d\xi, B(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)sin\omega \xi d\xi\).

在此节给出一些例子，如矩形函数和有限正弦波列的傅里叶变换结果。

• 研究生阶段真正用的1：复数形式的傅里叶积分，详见复变函数-复数形式的傅里叶积分。

• 研究生阶段真正用的2：傅里叶变换的基本性质：导数定理、积分定理、相似性定理、延迟定理、位移定理、卷积定理。用于微分方程求解。这篇写得不错傅里叶变换的性质及基本应用。傅里叶变换和微分方程的求解联系何在？在于导数定理——对于给定初始值的偏微分方程或常微分方程，可以转化为常微分方程或者普通的方程。傅里叶变换的基本性质中应用最多的便是导数定理和卷积定理（应用详见 (En) Biophysics 扩散方程和线性响应）。

• 矩形函数 <-> sinc 函数在数字信号处理的应用 rect <-> sinc in digital signal processing

  Introduced in (En) Information Theory. A continuous band-limited time-series (to \(W\) Hz) can be perfectly reconstructed, if uniformly (in time) sampled with a minimum frequency of \(2W\). Related theorem: Nyquist–Shannon sampling theorem. A method is using sinc function, related theorem: Whittaker–Shannon interpolation formula. Math was elaborate in this online handout: 10.4: Perfect Reconstruction, check the former section for unclear equations :-).

\(δ\) 函数

\(δ\) 函数即狄拉克函数，用于研究物理学中的质点、点电荷等抽象模型。据我的记忆，该函数由物理学家发明，最初被数学家不齿。\(δ\) 函数是一种广义函数，可以看成某些通常函数序列的极限，这些极限通常在积分意义下理解，文中给出 3 种函数序列极限导出的 \(\delta\) 函数，通过这些函数序列进行傅里叶变换再求极限，可以得到 \(δ\) 函数的广义傅里叶变换：常数\(\frac{1}{2\pi}\).

【intuition】将其放在傅里叶变换这一章的动机对于愚笨如我的初学者很难一眼洞悉。事实上，上文提到的有限正弦波列的傅里叶变换结果和 \(δ\) 函数的广义傅里叶变换给了我们线索：

Functions that are localized in the time domain have Fourier transforms that are spread out across the frequency domain and vice versa, a phenomenon known as the uncertainty principle. –Wikipedia

拉普拉斯变换

前文说到，傅里叶变换一个很重要的应用就是求解微分方程。然而，并不是所有函数都可以做傅里叶变换（狄里希利、绝对可积），比如正弦函数就不可以。那么对于 driven force 是正弦形式的非齐次微分方程怎么处理？乘以一个指数型收敛因子再进行傅里叶变换，就是拉普拉斯变换 \(\bar f(p)=\mathscr L[f(t)]=\displaystyle\int_0^\infty f(t)e^{-pt}dt\)，其中当 \(t>0\) 时，\(f(t)=0\)。

条件：(1) 在\(0≤t<\infty\) 的任一有限区间上，除了有限个第一类间断点外，函数 \(f(t)\) 及其导数是处处连续的，(2) 存在常数 \(M>0\) 和 \(\sigma>0\)，使对于任何 \(t\) 值 (\(0≤t<\infty\))，有 \(\vert f(t)\vert<Me^{\sigma t}\)。

详见复变函数-拉普拉斯变换及其应用。和傅里叶变换一样，傅里叶变换和微分方程的求解联系也在于导数定理——傅里叶变换的基本性质中应用最多的便是导数定理和卷积定理。

求解偏微分方程，详见数学物理方程。

上面是我完成 (En) fan2023effect 之前写的。大二学的时候，拉普拉斯变换没有考，期末考试范围的 PDE 求解基本考察的都是分离变数法，导致我赌五毛钱拉普拉斯变换根本没用。直到博一进组之前偷听组会，导师说“对它做个拉普拉斯变换”，我就感觉很痛苦。如今才发现，拉普拉斯变换是真的可以用的。以这篇文献为例，我们细细品为啥有“当 \(t>0\) 时，\(f(t)=0\) ”的条件呢？因为我们可以用来解线性响应的问题！给出两个研究生阶段的例子，详见 (En) fan2023effect 和 Linear Response - (En) Biophysics（后者我还没写）。

把微分方程做拉普拉斯变换求解后怎么变回去？没傅里叶变换那么容易，一般运用各种定理，然后查表，我一般就直接问 ChatGPT 了。

控制理论

研究 linear time invariant (LTI) 系统的性质，利用拉普拉斯变换在频域研究，扔掉初始条件，考虑拉普拉斯变换后，频域输出与输入之比记为 \(G\)，the transfer function。

卷积定理在控制理论中的重要性：反馈回路中，输出被喂给输入，在反馈回路中为卷积关系。