Stokes’ Theorem, in all of its many manifestations, comes down to equating the average of a function on the boundary of some geometric object with the average of its derivative (in a suitable sense) on the interior of the object. — Chapter 5, All the Math you Missed…

微积分课程中学的积分是黎曼积分。把积分区间划分成小条，取小条区间内的最大值或者最小值，只要小条宽度无限小，积出来应该一样。对于狄里希利函数，取有理数为小条区间端点或无理数为小条区间端点，小条都可以无限小，但求出来积分值不一样，所以不是黎曼可积，但是用勒贝格积分可以积，本科课程没有涉及。

绪论

常用不等式及其证明

常用不等式及其证明

• Cauchy-Schwarz 不等式在量子力学中不确定关系部分用到。

• 琴生（Jensen）不等式

  • 在 (En) Information Theory 部分用到。

    On bacteria population dynamics: By observing groups of cells for hundreds of generations at single-cell resolution, we reveal that growth noise causes clonal populations of Escherichia coli to double faster than the mean doubling time of their constituent single cells across a broad set of balanced-growth conditions. Check Noise-driven growth rate gain in clonal cellular populations.

  • 推论：几何平均值 ≤ 算术平均值。

Stirling’s Formula

• 写法 1：\(n!\) ~ \(\sqrt{2\pi n}n^ne^{-n}\), also \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}n^ne^{-n}}=1\)，用放缩法数列 \(\displaystyle d_n=\log(n!)-(n+\frac{1}{2})\log(n)+n\) 在 \(n\to\infty\) 有界，见 All chapter 18.6。

• 写法 2：\(\displaystyle\ln(N!)=N\ln N-N+\frac{1}{2}\ln(2\pi N)+\mathcal O(\frac{1}{N})\)。见 Kardar, Statistical Physics of Particles, chapter 2.6 in the thermodynamic limit (\(N\rightarrow \infty\) )

  Summation of exponential quantities: \(\mathscr{E}=\displaystyle\sum_{i=1}^\mathcal{N}\mathcal{E}_i\), where each term is positive, \(\mathcal{N}\) is some power of \(N\), \(0\leq\mathcal{E}_i\sim \mathcal O(\exp(N\phi_i))\), then \(\displaystyle\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{\ln\mathscr{E}}{N}=\phi_{\max}\).

  Saddle point integration: \(\displaystyle\mathcal{J}=\int dx\exp(N\phi(x))\approx\sqrt{\frac{2\pi}{N\vert\phi''(x_{\max})}}e^{N\phi(x_{\max})}\).

  Stirling’s approximation: Plug in \(\phi(x)=\ln(N)-1\) to the saddle point integration.

一元函数

一元函数知识点的简单例子：微积分 - 一元函数。

微分学

极限：数列极限的“\(\epsilon-N\) 语言” “\(G-N\) 语言”，函数极限的“\(\epsilon-\delta\) 语言” “\(\epsilon-K\) 语言”。

连续函数：物理学家喜欢研究的好函数。可以用极限的语言描述连续性。

可导/可微：一元情况下等价。切线：对函数某处线性增长率的刻画，\(y\approx f(a)+f'(a)(x-a)\)。

处处连续但处处不可微的函数 - Weierstrass’ Example，见 All 2.9（论证思路略）。

微分学中值定理 -> L’Hosptal 法则 & Taylor 公式 （南大混乱邪恶考点）。

泰勒级数 \(\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}\)

导数、导函数、反函数的导函数、隐函数的导函数。

微积分 - 自然对数e。pending：证明超越数。逼近 \(e\) 的值：使用 \(\displaystyle e=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...\)

积分学

牛顿-莱布尼兹公式：\(\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)dt\), \(\displaystyle f(x)=\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt\), \(\displaystyle \int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)\). 若积分上下限都是随 \(x\) 变化的函数，变限积分求导公式 \(\displaystyle\frac{d}{dt}\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)}g(t;\tau)d\tau=\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)}\frac{\partial g(t;\tau)}{\partial t}d\tau + g[t;\beta(t)]\frac{d\beta(t)}{dt} - g[t;\alpha(t)]\frac{d\alpha(t)}{dt}\). 可以用链式法则得到，可见积分变化率总能分为被积函数的影响 + 积分区域的影响两部分，将在线性响应的数学验证中用到（见此节 Cross check 部分）。

熟练掌握简单换元 & 分部积分 \(\displaystyle\int udv=uv-\int vdu\).

作为考察重点但实际上没用的：复杂积分。此后课程考试中的涉及的积分都很简单，部分作业中困难积分要么可以用 Wolfram Alpha - integral 求解，要么可以编写程序进行数值积分。

• The Gamma Function \(\displaystyle\Gamma(x)=\int_{0}^\infty t^{x-1}e^{-t}dt\)

  是阶乘在实数域上的推广，若 \(n\) 是整数，则 \(\Gamma(n)=(n-1)!\)。

变分法初步

一般地说，一个变量 \(J\)，如果其取值取决于函数关系 \(y=y(x)\)，就叫做函数 \(y(x)\) 的泛函，记作 \(J[y(x)]\)。求泛函的极值问题就叫做变分问题。把变分问题转化为求解微分方程——欧拉方程。欧拉方程是变分问题所必须满足的必要条件。需要满足约束条件时，用拉格朗日乘子法（见下文）处理欧拉方程。

一个简单的例子：\(J[y(x)]=\displaystyle\int_a^bF(x,y,y^\prime)dx\)，假设边界不变 \(\delta y\vert_a^b=0\)，则 \(J[y(x)]\) 取极值（\(\delta J[y]=\displaystyle\int_a^b[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^\prime})]\delta ydx=0\)）的必要条件是 \(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^\prime})=0\)，或 \(\displaystyle\frac{\partial F}{dx}+\frac{d}{dx}(y^\prime\frac{\partial F}{\partial y^\prime}-F)=0\)。详见力学变分原理。多变量推广、高阶导推广、有约束推广……

数项级数

正项级数：比较法之极限形式、根式法、比值法、 Cauchy-Hadamard 公式 -> 收敛域。

收敛域内逐项积分、逐项求导。

对于以上数项级数知识点的简单例子：微积分 - 数项级数、斐波那契数列与黄金分割比。

重要结论示例

• Riemann Zeta Function: \(\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\). \(s> 1\) 时收敛。

  更有趣的是，它与素数的增长率相联系。\(\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\prod_{p\text{ prime}}\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}\)，通过把分母拆开相乘可以看出。推论：素数有无限多个（这个倒是可以有其他证明方法）。

  • \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=+\infty\). Harmonic Series.

• \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln2\). Sum of the alternating harmonic series. 不绝对收敛，但一致收敛。

绝对收敛

上面俩特重要的结论，一个压根不收敛，一个收敛，但不够 nice。够 nice 的级数是绝对收敛的：如果每一项取绝对值，无穷级数还是收敛，那么这个无穷级数绝对收敛。美好品格：重新排列数项，不改变数项和。

那么问题来了，为什么需要重新排列数项？这就引出了一个有用的结论——Cauchy product：如果 \(A=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}a_i\), \(B=\displaystyle\sum_{j=0}^{\infty}b_j\), 且其中一个数列是绝对收敛，那么对数项卷积 \(c_k=\displaystyle\sum_{l=0}^{k}a_lb_{k-l}\) 有 \(C=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}c_k=AB\)。应用到处理 master equation 的 theoretical paper 等我过几天写好推导。其实如果并没有一个级数绝对收敛， Cauchy product 也可能成立。幸亏我目前遇到的都绝对收敛。

常微分方程

基本技能点：微积分 - 几种常见形式ODE的求解套路。其中第4个例子在 (En) Stochastic Processes 中朗之万方程求解中格外重要。

欧拉型常微分方程

欧拉型常微分方程上面没写，合理怀疑学的时候没当回事，但是数学物理方程的球坐标系下拉普拉斯方程约化过的距离坐标所满足的方程就是欧拉型常微分方程。形式和解法详见微分方程第九节* 欧拉方程 - Seintf的文章 - 知乎。

多元函数

这一节研究多维空间中函数微分和积分的性质，与之相关的概念：topology, compactness（通俗易懂的讲解视频）, manifold, boundaries, interior. 见 All 4-5 章即可。意义：紧致集上的连续函数是有界的（物理学家喜欢）。

Scalar-Valued: \(f(x_1,...,x_n):\mathbb R^n\to\mathbb R\)

判断多元函数是否有极限。连续可微、可微、连续、偏导存在的关系。\(\displaystyle df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy\)。如何理解偏微分和全微分？ - Chinese Cabbage的回答 - 知乎。

驻点 -> 极值点 -> Hessian Matrix 的正定/负定/…性质 -> 线性代数

• 齐次函数的欧拉定理

  若函数 \(f(x_1,x_2,...,x_n)\) 是变量 \(x_1,x_2,...,x_n\) 的 \(m\) 次齐次多项式 -> \(f(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)=\lambda^mf(x_1,x_2,...,x_n)\) -> \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}x_i=mf\). 应用：广义能量 - 理论力学。

• 勒让德变换

  \(xdy≡d(xy)-ydx\)，将自变量 \(y\) 变换为自变量 \(x\)。举例：热力学 - 麦克斯韦关系、理论力学 - 哈密顿正则方程。

• 拉格朗日乘子法

  将一个有 \(n\) 个变量与 \(k\) 个约束条件的最优化问题转换为一个解有 \(n+k\) 个变量的方程组的解的问题。任务：求 \(f(\vec{x})\) 的极值，约束条件为 \(g_1(\vec{x})=...=g_M(\vec{x})=0\)。数学等价：\(\nabla_{x_1,...,x_n,\lambda_1,...,\lambda_M}\mathscr{L}(x_1,...,x_n,...\lambda_1,...,\lambda_M)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases} \nabla f(\vec{x})-\displaystyle\sum_{k=1}^M\lambda_k\nabla g_k(\vec x)=0 \\ g_1(\vec x)=...=g_M(\vec x)=0\end{cases}\).

Vector-Valued: \(\vec f(x_1,...,x_n)=\begin{pmatrix}\vec f_1(x_1,...,x_n) \\ \vdots\\ \vec f_m(x_1,...,x_n)\end{pmatrix}\)记为 \(\vec f(\vec x)\)，\(\vec f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\)，物理中称为矢量场。

一元函数可微 - 线性增长率 - 切线斜率。多元 VVF 推广 - 雅可比矩阵，见 All 3.3，\(\vec y\approx\vec f(\vec a)+\mathbf D\vec f(\vec a)\cdot(\vec x-\vec a)\)。引理：vector-valued functions 求导链式法则，见 All Theorem 3.3.3。引理给出推论：反函数的雅可比。再推论：隐函数定理（这个目前没遇到过）。

多重积分

积分换元 - 雅可比矩阵

微积分 - 雅可比矩阵及其几何意义：一元函数积分换元时，有一个“系数”（\(\displaystyle \int_a^be^{-2y}dy\)→\(\displaystyle \int_{\frac{a}{2}}^{\frac{b}{2}}e^{-x}\frac{1}{2}dx\)）。到了多元函数积分学，这个系数就是雅可比矩阵的行列式。Intuition: 前面已经给出了雅可比矩阵的意义：描述多元函数微分性质。那么对于 n 重积分换元，相当于有一个 \(\vec f:\mathbb R^n\to\mathbb R^n\)，从旧坐标映射到新坐标。结合行列式的意义，作为“系数”的雅可比行列式就是新旧坐标体积变化倍数。

试想我想用积分算算我奇形怪状的大庄园面积有几亩，建立一亩为单位长度的平面直角坐标系，积分计算面积就是把函数 \(f(x,y)=1\) 在庄园范围做个二重积分。不管我把坐标系单位长度换成米还是英寸，我希望函数 \(f\) 积分告诉我庄园有几亩，不以我变换的坐标系为转移，于是，我需要雅可比行列式。

常用积分变换及其雅可比：二重积分-极坐标变换（雅可比为 \(\rho\)），三重积分-柱坐标变换（雅可比为 \(\rho\)）、球坐标变换（雅可比为 \(r^2\sin\theta\)）。

reference:

• 《数学分析新讲II》张筑生 第十三章 5.a注记

• 《线性代数的几何意义》任广千等 5.11 雅可比矩阵及其行列式的几何意义

例：\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\) 怎么积分？\(\displaystyle (\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx)(\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy)=2\pi\int_0^\infty e^{-r^2}rdr\).

如何在一个奇形怪状的区域内积分？-> 累次积分：一个积分变量在某个范围，第二个积分变量是第一个积分变量的函数，第三个积分变量是前两个积分变量的函数……

后续课程中，绝大部分情况下我们求解的问题都是高度对称的，尤其是柱坐标、球坐标问题，绝大部分可以将积分变量分离开积分再相乘。

对于以上多元函数知识点的简单例子：微积分 - 多元函数。

曲线、曲面积分

曲线积分：在一元函数中，我们只是对 \(f(x)\) 在 \(x\) 的某取值范围内积分。现在我们对 \(f(x_1,...,x_n)\) 可以在 \(\mathbb R^n\) 内一条曲线 \(s\) 积分，为 \(\displaystyle\int_C fds\)，计算方法是找到一个参数把 \(s\) 参数化，然后就变成了一元积分。

曲面积分：在二重积分里面我们对二维空间的一个区域积分，现在可以在三维空间里定义一个二维曲面 \(S\) 上对某函数积分，为 \(\displaystyle\int_S fdS\)，方法是积分换元成两个参数，然后就变成了二重积分，勿忘雅可比。更多 intuition 见 All 5.1.4节。

梯度、散度、旋度

标量场的梯度 Gradient - Wiki、矢量场的散度 Divergence - Wiki（高斯定理）、矢量场的旋度 Curl - Wiki（斯托克斯定理）

矢量微分算符

在直角坐标系下 \(\nabla=\displaystyle\sum_i\vec e_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\)。在右手广义坐标系下怎么写？这取决于我们希望场论中的梯度、散度、旋度不随坐标系的变换而改变数值。参见下文多元函数积分引用的高等数学_场论初步_柱坐标、球坐标下梯度、散度、旋度 。

Nabla 算符 ∇ 的运算律以及常用公式 - 東雲正樹的文章 - 知乎。拉普拉斯算子 \(\nabla\cdot(\nabla\varphi)=(\nabla\cdot\nabla)\varphi=\nabla^2\varphi\)，在调和函数（如电势场）中常用。 这个链接的封面图就是高斯定理微分形式有关的一个很常用的数学公式 \(\nabla^2\displaystyle\frac{1}{r}=-4\pi\delta(\vec r)\)，这是数学的关系，见下面高斯定理，但是可以结合电磁学 - 库仑定律记忆——空间原点孤立点电荷形成的电势场。

补充：拉普拉斯算子也可以对矢量场作用，例如在笛卡尔坐标系，\(\nabla^2\vec v=(\nabla^2 v_x)\vec e_x+(\nabla^2 v_y)\vec e_y+(\nabla^2 v_z)\vec e_z\)。在电动力学 - 电磁波的传播中使用。

在场论中，常常需要区分场点 \(\vec x\) 和源点 \(\vec x'\) 。定义算符对场点微分 \(\nabla=\vec e_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\)，对源点微分 \(\nabla'=\vec e_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i'}\)，具体关于相对位矢 \(\vec r=\vec x-\vec x'\) 的运算律见电动力学课件。

高斯公式、格林公式、斯托克斯公式

由于我们要用积分和微分联系几何对象边界和内部，此处研究可定向的曲线和曲面。第二类曲线/曲面积分可以转化为第一类曲线/曲面积分，反之则不一定。事实上，第一类曲线/曲面积分学过之后就没用过，故不必放在心上。第二类曲线/曲面积分好在哪里呢？我们可以使用高斯公式、格林公式和斯托克斯公式对我们研究的量进行转换。

• 体三重积分 <–高斯公式–> 第二类封闭曲面积分 The Divergence Theorem

  \(\displaystyle\oint_SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=\int_{V}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz\).

  散度与通量：\(\nabla\cdot\vec A=\displaystyle\lim_{\Delta V\rightarrow0}\frac{\Delta\Phi}{\Delta V}\), \(\displaystyle\int_{V}\nabla\cdot\vec AdV=\displaystyle\oint_{S}\vec A\cdot d\vec S\). 对应下文外微分形式的 \(T_3(d\omega_2)=\text{div}(T_2(\omega_2))\).

• 第二类曲面二重积分 <–斯托克斯公式–> 第二类封闭曲面积分 Stokes’ Theorem

  \(\displaystyle\oint_lPdx+Qdy+Rdz=\int_S(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy\).

  旋度与环量：\((\nabla\times\vec A)_n=\displaystyle\lim_{\Delta l\rightarrow 0}\frac{\Delta\Gamma}{\Delta l}\), \(\displaystyle\int_{S}\nabla\times\vec A\cdot d\vec S=\displaystyle\oint_{l}\vec A\cdot d\vec l\).​ 对应下文外微分形式的 \(T_2(d\omega_1)=\text{curl}(T_1(\omega_1))\).

  • 特殊情况 - 如果曲面是平的，则积分区域定义在二维空间里：第二类平面二重积分 <–格林公式–> 第二类封闭平面上的封闭曲线积分（对旋度）

    \(\displaystyle\oint_lPdx+Qdy=\int_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy\).

    应用：椭圆面积公式。

对于以上多元函数知识点的简单例子：微积分 - 多元函数2。

如何在一个变换了的广义右手坐标下表示？

• 高等数学_场论初步_柱坐标、球坐标下梯度、散度、旋度。reference: 《数学分析新讲III》张筑生 第十七章 附录 正交曲线坐标系中的场论计算。
• 电磁学课件里没加解释的拉梅系数 \(h_\alpha\)，其实相当于把直角坐标系里的三个基向量，转化成任意微元相互右手垂直的广义坐标 \(q_\alpha\)​ 对应基矢量长度，与原来各向同性基矢量单位长度对应的比较系数。在有关面积和体积的度量上，也要转化回各向同性直角坐标系作为标准。

电磁学中常用结论

• \(\nabla^2\displaystyle\frac{1}{r}=-4\pi\delta(\vec r)\).

• \(\nabla\times(\nabla T)=0\), intuition - Why Gradients Must Have Zero Curl.
• \(\nabla\cdot(\nabla\times\vec v)=0\)​.

斯托克斯定理

在三维空间中，外微分形式的梯度、散度、旋度，也当是 \(k\)-form 的一个小练习。

\(\displaystyle\int_Md\omega=\int_{\partial M}\omega\)​. 参见 All 6.7.

广义 Leibniz 积分律

一元函数中我们讨论了变限积分求导公式，推广到高维，知乎专栏“如何对积分求导——夏草的璇涡冰激凌”已经写得很详细了。用到的行列式微分引理详见线性代数。

矢量与张量运算

矢量的标积（做功）、矢积（平行四边形有向面积）、混合积（平行六面体体积）。

轴矢量与极矢量

• 极矢量：镜面垂直量反向。e.g., 空间位矢、电场、电偶极矩等。
• 轴矢量：镜面平行量反向。e.g., 磁矩、磁感应强度等。
• 极矢量 \(\times\) 极矢量 \(=\) 轴矢量。

并矢与张量

三维欧氏空间中，零阶张量——标量，一阶张量——三维矢量，二阶张量——张量 \(\overleftrightarrow T\) 3 阶矩阵。

并矢：把两个矢量两两配对相乘列成矩阵，并不做什么。并矢与矢量的点乘、叉乘。张量与矢量的点乘 -> 并矢与矢量的点乘。并矢与并矢点乘、双点积、叉乘。

矢量空间中的泰勒展开：\(f(\vec x+\vec\delta)=f(\vec x)+\delta_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}f(\vec x)+\displaystyle\frac{1}{2}\delta_i\delta_j\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_j}f(\vec x)+...\)